Примеры решения задач

1. Пусть – плоскость, = – предикат равенства (понимаемый как совпадение точек),“xиунаходятся на расстоянии 1 друг от друга”. Выразить в моделиследующие предикаты:“xиунаходятся на расстояниидруг от друга”,“расстояние междуиравно 2”.

Решение. Понятно, что расстояние междуибудетв том и только том случае, если найдётся точкана расстоянии 1 от каждой из них, и расстояние будет равно 2, если эта точка единственная. Поэтому

2. Выразить в модели предикат

Решение. Понятно, чтов том и только в том случае, еслии междуицелых чисел нет. Поэтому

3. Выразить в модели предикат равенства.

Решение.

4. Пусть – расширенное множество натуральных чисел, сложение и умножение понимаются в обычном смысле. Выразить в моделиследующие предикаты:делится на“остаток от делениянаравен– степень числа 2”.

Решение. Понятно, чтов том и только в том случае, еслипредставимо в видепри некоторомСледовательно,Предикатможно записать многими способами, например:Далее,делится наесли и только еслипредставим в видет.е.Предпоследний предикат (обозначим егоговорит о том, чтопри некоторомпричёмВ свою очередь,означает, чтоипри некоторомТаким образом,

Наконец, степень двойки характеризуется тем, что все её делители, кроме 1, – целые числа. Значит,

–степень 2”

5. Доказать, что в модели предикатневыразим.

Доказательство. Рассмотрим автоморфизмданной модели. Так как предикаты = и < инвариантны относительно этого автоморфизма, а предикатне инвариантен (он превращается в предикатпри применении автоморфизма), то предикатневыразим.

6. Допускает ли модель элиминацию кванторов?

Решение. Ответ будет отрицательным, если мы докажем, что предикатвыразим с помощью формулы с кванторами, но невыразим с помощью бескванторной формулы. Действительно, формулу с кванторами написать несложно:

Далее, бескванторная формула, если бы она для этого предиката существовала, получалась бы из атомарных формул с помощью логических связок. Но ситуациянеотличима от ситуациитак как в обеих ситуациях значения истинности атомарных формул одни и те же. Значит,в том и только в том случае, когдано это неверно. Значит, предикатневыразим с помощью бескванторной формулы, и модельне допускает элиминацию кванторов.

Задачи для самостоятельного решения

1. Выразить в сигнатуре модели предикат

Ответ:

2. Выразить в сигнатуре модели следующие предикаты:ивзаимно просты”,является наибольшим общим делителем чисели

Ответ:

3. Выразить в сигнатуре модели предикат

Ответ:

4. Выразить в сигнатуре модели трёхместный предикат

Решение. ПустьТак как

то

5. Указать автоморфизм модели доказывающий невыразимость предиката.

Ответ:например,

6. Рассмотрим модель где– одноместная функция. Выразим ли в сигнатуре этой модели предикат

Ответ:нет.

Указание:рассмотреть автоморфизм

7. Доказать, что предикат невыразим в множестве целых положительных чисел с предикатом равенства иделит

Указание: число 2 в данной сигнатуре неотличимо от другого простого числа.

8. Написать общий вид предикатов, выразимых в сигнатуре модели где– бесконечное множество.

Ответ: