Аксиоматика действительных чисел

Множество действительных чисел мы будем рассматривать как множество, на котором определены операция сложенияумножения отношение порядкаи выполняются аксиомы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. (аксиома Архимеда). Каковы бы ни были действительные числасуществует натуральное числотакое, что

17. (аксиома непрерывности). Если– непустые подмножества множества действительных чисел ипри всехто существует действительное числотакое, что(т.е.при

Как видно, по форме построения аксиомы (16) и (17) отличаются от других аксиом. Правда, аксиому Архимеда можно переписать так: а аксиома непрерывности переписывается так:

R

Но, в отличие от аксиом (1)–(15), не все кванторы имеют областью определения множество действительных чисел: в аксиоме Архимеда квантор действует на натуральные числа, а в аксиоме непрерывности – на подмножества. Мы будем говорить, что аксиомы (1)–(15) являются формулами логики первого порядка, а аксиомы (16), (17) таковыми не являются (точные определения будут даны в следующем разделе).

В курсе математического анализа доказывается, что аксиома непрерывности эквивалентна принципу вложенных отрезков, а такжетеореме о существовании точной верхней грани непустого ограниченного множества. Следовательно, аксиома (17) может быть заменена на одно из этих утверждений.

Отметим, что множество действительных чисел определяется аксиомами (1)–(17) однозначно с точностью до изоморфизма. Однако доказывать это утверждение мы не будем. Аксиом (1)–(16) для определения множества недостаточно, так как этим аксиомам удовлетворяет также множестворациональных чисел. Кроме того, данное рассуждение показывает независимость аксиомы (17) от предыдущих аксиом.

Примеры решения задач

1. Доказать, используя аксиомы Пеано, что для любых натуральных чисел

Доказательство. Индукция поПриимеем:Пусть теперьТогда

Утверждение доказано.

2. Доказать, что для любых натуральных чисел

Доказательство. Индукция поПриутверждение очевидно. ПустьТогда

3. Используя аксиомы действительных чисел, доказать, что для любого действительного числа

Доказательство. По аксиоме (9)Пусть– число, противоположное к(оно существует по аксиоме (3)). ТогдаПо аксиомам (4) и (1) получаем:т.е.

4. Используя аксиомы действительных чисел, доказать, что

Доказательство. Предположим, что соотношениеневерно. По аксиоме (6)Значит, по аксиоме (13)Пусть(т.е.– элемент, противоположный элементу 1 и существующий по аксиоме (3)). ТогдаПрибавим к обеим частям неравенствачисло(здесь мы используем аксиомы (14), (2), (4) и легко доказываемое утверждениеОтсюда(интересный результат:Умножим на(используя аксиому (15)):

Докажем теперь вспомогательное утверждение о том, что Действительно, так кактот.е.Прибавим 1:Воспользуемся аксиомой (1):

Ранее было доказано, что Следовательно,Мы получили противоречие с предположением. Утверждение доказано.

Задачи для самостоятельного решения

1. Используя аксиомы Пеано, доказать, что для любых натуральных чисел справедливы равенства

2. Пользуясь аксиомами действительных чисел, доказать их свойство плотности: для любыхеслито существует такоечто

3. Доказать, что для любого действительного числа существует натуральное числотакое, что