Глава 3

Теория моделей

3.1. Аксиоматика натуральных и действительных чисел Аксиомы Пеано натуральных чисел

Множеством натуральных чисел мы будем называть любое множество на котором определена операция следования(элементинтерпретируется как элемент множестванепосредственно следующий за элементоми выполняется ряд аксиом(аксиомы Пеано).Для простоты мы будем пока равенствопонимать как совпадение элементови(не описывать аксиоматически отношение равенства).

Аксиомы Пеано:

(П1) (аксиома наличия наименьшего элемента);

(П2)

(П3) (аксиома индукции).Пусть– подмножество множестватакое, что выполняются условия:

(а)

(б)

Тогда

Определим сложение двух натуральных чисел. ПустьПоложим:при(индуктивное определение). Ввиду аксиомы индукции мы можем считать, чтоопределено для всех

Докажем свойство коммутативностинатуральных чисел, т.е. чтоДля этого нам понадобятся две леммы.

Лемма 1.

Доказательствопроведём индукцией поПриутверждение очевидно. Пустьдокажем, чтоИмеем:

Лемма 2.для любых

Доказательство. Индукция поПриполучаем:Пустьпри всехи некоторомДокажем, что то же верно дляИмеем:что и требовалось.

Теорема 1.при всех

Доказательство. Индукция поПриутверждение следует из леммы 1. Пустьпри всехи некоторомДокажем, что то же верно дляИмеем (с учётом предположения индукции и леммы 2):Теорема доказана.

Аналогично доказывается закон ассоциативности

На множестве натуральных чисел можно определитьотношение порядка:а такжеоперацию умножения:С помощью аксиом Пеано можно доказатьзаконы ассоциативностиикоммутативностиумножения, а такжезакон дистрибутивностиДоказываются такжесвойства неравенств:и многие другие. Тем самым аксиомы Пеано позволяют построить строгую и стройную теорию натуральных чисел.

Заметим, что любое множество(независимо от его природы) мы называем множеством натуральных чисел, если оно удовлетворяет аксиомам Пеано. Образно говоря, если бы множество стульев удовлетворяло аксиомам Пеано, мы стулья называли бы натуральными числами. Не следует ли отсюда, что множество натуральных чисел не одно, а таких множеств огромное количество? Вообще говоря, следует, но не надо этого бояться. Ниже мы докажем, что любые два “множества натуральных чисел” (т.е. два множестваАиВ, удовлетворяющие аксиомам Пеано) изоморфны друг другу, т.е. существует взаимно однозначное соответствиесохраняющее операцию следования:Значит,множество натуральных чиселединственно с точностью до изоморфизма. Для других аксиоматических систем ситуация может быть совсем иной. Например,аксиомы группыне определяют объект однозначно с точностью до изоморфизма. В самом деле, две неизоморфные группы удовлетворяют аксиомам группы (ассоциативность, наличие единицы, наличие обратного элемента).

Теорема 2. Любые два множестваАиВ, удовлетворяющие аксиомам (П1)–(П3), изоморфны друг другу.

Доказательство. Ввиду аксиомы (П1) вАесть наименьший элемента вВ– наименьший элементПостроим индуктивно отображениеПоложими вообще, еслито положимПо аксиоме (П3)продолжается до всегоАиПо аксиоме (П2)взаимно однозначно. Равенствоследует из определения отображения