Примеры решения задач

1. Доказать, что всякое линейное пространство имеет базис.

Доказательство. Напомним, что базисом линейного пространстванад полемназывается такое множество(необязательно конечное), что всякий векторявляется линейной комбинациейгдеРассмотрим множествовсех линейно независимых (необязательно конечных) подмножествпространстваЭто множество является частично упорядоченным обычным включениемПусть– цепь вПоложимПроверим, чтот.е.линейно независимо. Действительно, пустьгдеи не всеравны 0. Так кактопри некоторыхТак как– цепь, то средиесть наибольшее по включению. Скажем,приТогдаиТак каклинейно независимо, то– противоречие. Мы доказали, чтоОчевидно,является мажорантой цепиТаким образом, множествоудовлетворяет условиям леммы Цорна, а потомуХсодержит максимальный элементИтак,– максимальное (по включению) линейно независимое подмножество. Докажем, что– базис. ПустьЕслитовыражается через элемент изЕслитозначит,– линейно зависимая система. Так каклинейно независимо, толинейно выражается через элементы из

2. Доказать, что всякое ненулевое кольцо с единицей имеет максимальный идеал, не совпадающий со всем кольцом.

Доказательство. Пусть– кольцо с единицей. Рассмотрим идеалыкольцатакие, чтоТакие идеалы существуют, например,Эти идеалы образуют по включению частично упорядоченное множествоПусть– цепь вТак как– цепь, то– идеал кольцаЕслитоа значит,при некоторомНо тогдаа это противоречит условиюТаким образом,следовательно,– мажоранта цепиМножествоудовлетворяет условиям леммы Цорна, поэтому весть максимальный элементЯсно, чтои есть максимальный идеал, отличный от

3. Доказать, что в любом частично упорядоченном множестве частичный порядок может быть продолжен до линейного.

Доказательство. Пусть– множество, на котором задан частичный порядокПусть– множество всех частичных порядковнатаких, чтоМножествочастично упорядочено отношением включенияПусть– цепь вПусть– объединение цепи элементовПроверим, что если каждое– отношение порядка, то– тоже. ПустьТак какрефлексивно, топоэтомут.е.рефлексивно. Докажем его транзитивность. ПустьиТогдапри некоторыхТак как– цепь, тоилиПусть, например,ТогдаВвиду транзитивности отношенияполучим:НопоэтомуТаким образом, отношениетранзитивно. Антисимметричность отношениядоказывается аналогичным образом. Следовательно,– отношение порядка.

Итак, в множестве каждая цепьимеет мажорантуПоэтому по лемме Цорнаимеет максимальный элементДокажем, что максимальный порядок обязательно является линейным. Действительно, пусть– не сравнимые относительноэлементы, т.е.иПродолжим порядокдо порядкаопределённого следующим образом:Рефлексивность, транзитивность и антисимметричность отношенияпроверяются непосредственно. Значит,действительно является отношением порядка. Так кактоа это противоречит максимальности порядкаЗначит,– линейный порядок. Кроме того,т.е.является продолжением порядка

Задачи для самостоятельного решения

1. (А) Доказать, что если – группа ито существует в группемаксимальная (по включению) подгруппа, не содержащая элемента

(б) Верно ли, что в любой группе есть максимальная подгруппа

Ответ:(б) Нет. Например, группа– объединение цепочки групп – такова, что все её подгруппы, отличные от неё самой, конечны и ни одна из них не максимальна.

2. Назовём антицепьюмножество элементов частично упорядоченного множества, которые попарно не сравнимы друг с другом. Доказать утверждения:

(а) всякое частично упорядоченное множество содержит хотя бы одну максимальную (по включению) цепь (теорема Куратовского – Хаусдорфа);

(б) всякое частично упорядоченное множество содержит максимальную антицепь.

2. Доказать, что всякий связный граф (не обязательно конечный) содержит максимальное дерево.

3. Подмножество линейно упорядоченного множестваназовёмконфинальным, еслиДоказать, что всякое линейно упорядоченное множество содержит конфинальное вполне упорядоченное подмножество.

4. Будем говорить, что частично упорядоченное множество удовлетворяет условию минимальности, если в нём нет бесконечных убывающих цепейэлементов. Доказать, что множество удовлетворяет условию минимальности в том и только в том случае, если все его цепи вполне упорядочены.

5. Пусть – частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет мажоранту. Доказать, что для любогов множествеесть максимальный элементтакой, что

6. Пусть – множество и– какие-либо его различные элементы. Доказать, что существует максимальное (по включению) отношение эквивалентностинатакое, чтоСколько классов эквивалентности имеет отношение

Ответ:два.