Лемма Цорна, теорема Цермело

Цепьюназывается линейно упорядоченное множество.

Пусть – частично упорядоченное множество и Г – его подмножество, являющееся цепью.Мажорантой(иливерхней границей) цепи Г называется любой элементтакой, чтодля всех

Обозначим через множество всех мажорант цепи Г. Введём ещё одно обозначение. Пусть Г – цепь иПоложим

Наша дальнейшая цель – сформулировать два новых утверждения – лемму Цорнаитеорему Цермело– и доказать их эквивалентностьаксиоме выбора.

1. Аксиома выбора(формулировку см. в начале раздела).

2. Лемма Цорна. Пусть– частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет мажоранту. Тогдаимеет хотя бы один максимальный элемент.

3. Теорема Цермело.На всяком множестве можно ввести отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество.

Докажем эквивалентность этих утверждений по схеме

С помощью аксиомы выбора нам надо доказать лемму Цорна. Пусть – частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет мажоранту. Обозначим черезфункцию выбораПредположим, что множествоне имеет максимального элемента, и приведём это предположение к противоречию. Так как внет максимального элемента, тодля любой цепи

Назовём подмножество множестваотмеченным, если выполняются условия:

(а) вполне упорядочено отношением порядка, перенесённым наиз

(б) для любого имеет место равенство

Отмеченные подмножества существуют. Например, Примером непустого отмеченного подмножества может служитьгдеПустьи– два отмеченных подмножества,ТогдапоэтомуИтак, минимальные элементы всех отмеченных подмножеств совпадают друг с другом (и совпадают с

Докажем, что для любых отмеченных подмножеств илиболибоПо предыдущей теореме одно из этих множеств изоморфно начальному отрезку другого. Пусть, например,изоморфно начальному отрезку множестваи– изоморфизмнаТак кактоДокажем, чтодля всехПусть это не так и– минимальный элемент такой, чтоВвиду (б)Ввиду минимальности элементаотображениетождественно наЗначит,Докажем, что между элементами изи элементомв цепиэлементов нет. Действительно, пустьдля всехТак кактоЗначит,при некоторомТак кактооткудаЗначит,что противоречит выбору элементаИтак, междуивэлементов нет. Это означает, чтоТак какотмеченное, тоЭто влечёт, что– противоречие. Следовательно,

Пусть – объединение всех отмеченных подмножеств. Ранее было показано, что для любых двух отмеченных подмножеств одно из них содержится в другом в качестве начального отрезка. Отсюда следует, чтотоже является отмеченным подмножеством. Очевидно,– наибольшее отмеченное подмножество. По условиюСледовательно, существует элементЦепьтоже является отмеченным подмножеством, поэтомуНо это противоречит тому, чтоУтверждение доказано.

Предположим, что справедлива лемма Цорна. Докажем теорему Цермело. Пусть – множество иХ– множество паргде– подмножество множестваа– отношение порядка натакое, чтовполне упорядочено этим отношением. Введём на множествеотношение порядка, положивесли(т.е. на множествепорядкиисовпадают) иявляется начальным отрезком вПусть– цепь в(здесь– какое-либо множество индексов). Очевидно,– мажоранта цепиИтак, каждая цепь вимеет мажоранту. Отсюда следует по лемме Цорна, чтоимеет максимальный элемент. Пусть это будетДокажем, чтоПустьТогда существует элементПоложими продолжимна множествоположивидля всех(здесь– продолжение порядкаПолучим:что противоречит максимальности элементаИтак,значит,вполне упорядочено отношением

Предположим, что справедлива теорема Цермело, и требуется доказать аксиому выбора. Пусть – произвольное множество. По теореме Цермело существует порядокнапревращающий его во вполне упорядоченное множество. Для каждого непустого подмножестваположимТогдабудет являться функцией выбора

Итак, нами доказана эквивалентность аксиомы выбора, леммы Цорна и теоремы Цермело. Значит, каждая из них с одинаковым успехом может быть принята в качестве аксиомы, тогда две другие будут являться теоремами. Обычно за аксиому принимают первое утверждение – аксиому выбора ввиду её простоты и достаточной очевидности.

Замечание. Аксиома выбора так же, как лемма Цорна и теорема Цермело, носятнеконструктивныйхарактер. Аксиома выбора утверждает, что существует функция выбора, но не говорит о том, как её построить. Теорема Цермело утверждает, что всякое множество можно сделать вполне упорядоченным, но как это сделать, из теоремы извлечь невозможно. Никому ещё не удалось вполне упорядочить несчётное множество (скажем, множество действительных чисел). Некоторые математики –конструктивисты – не признают “голых теорем существования”, т.е. теорем, не дающих способа построения объекта, а лишь доказывающих существование этого объекта. Вместе с тем большинство математиков признаёт аксиому выбора и вытекающие из неё утверждения и считает её частью математического знания, источником получения других результатов.

Далее мы увидим, что с помощью аксиомы выбора, леммы Цорна и теоремы Цермело можно доказать некоторые утверждения, доказательство которых другими методами неизвестно. В частности, сейчас мы докажем, что любые два множества сравнимы по мощности.

Теорема 2. Для любых двух множествисправедливо хотя бы одно из следующих соотношений:

Доказательство. Ввиду теоремы Цермело мы можем считать, чтоивполне упорядочены. По теореме 1 одно из множествА,Визоморфно начальному отрезку другого. Еслиизоморфно начальному отрезку множестватоесли наоборот, то

Теорема 3. Пусть– бесконечное множество мощностиТогда: (а)можно разбить на два непересекающихся подмножества, мощность каждого из которых равна(б)можно разбить нанепересекающихся двухэлементных подмножеств.

Доказательство. Ввиду теоремы Цермело мы можем считать, что множествовполне упорядочено. ПустьНазовём элементпредельным, если у него нет предыдущего элемента (т.е. такого элементачто междуинет других элементов множестваинепредельным, если предыдущий элемент есть. Будем обозначать предыдущий элемент череза последующий – черезЕсли множествоимеет максимальный элементто рассмотрим элементы... Так как внет бесконечных убывающих цепей, то при некотором натуральномэлементбудет являться предельным. Переупорядочим элементы множества“отправив” элементы... ,в начало этого множества, т.е. будем считать, чтоОчевидно, множествоостанется вполне упорядоченным. Но теперь у него нет наибольшего элемента. Отсюда следует, чтоявляется объединением непересекающихся счётных подмножествгде– предельный элемент. Итак,–предельный}. Положим– предельный},– предельный}. Мы имеем разбиение множествана два подмножестваимощности которых равны(нетрудно установить взаимно однозначное соответствие между множествамиииТем самым доказано утверждение (а). Доказательство утверждения (б) осуществляется аналогично – двухэлементными подмножествами здесь будут... , где– предельный элемент.

Следствие 1. Если– бесконечная мощность, то(объединение двух непересекающихся множеств мощностиимеет мощность(объединениенепересекающихся двухэлементных множеств имеет мощность

Следствие 2. Еслии– бесконечные мощности, то

Доказательство. Пусть, например,Ввиду следствия 1 получим:откуда

Следствие 3. Пустьи– бесконечные множества (возможно, пересекающиеся). Тогда

Доказательство. Пусть, например,Тогдаоткуда следует, что

Следствие 4. Если– бесконечное множество,– множество такое, чтото

Доказательство. Можно считать, чтоУтверждение очевидно, если множествоконечно. Пустьбесконечно. Если предположить, чтото мы получим:– противоречие.