Аксиоматика Цермело – Френкеля

Неопределяемые понятия в аксиоматике Цермело – Френкеля – это понятия множестваи отношенияи =.

Аксиома экстенсиональности (объёмности)

Другими словами, если множества состоят из одних и тех же элементов, то они равны.

Определим подмножество: Обозначениебудет использоваться как краткая форма записи высказыванияАналогично этомубудет обозначать

Аксиома пустого множества

Определённое таким образом множество называетсяпустым множествоми обозначаетсяС помощью аксиомыможно доказать, что пустое множество единственно.

Аксиома неупорядоченной пары

Множество определённое данной аксиомой, называетсянеупорядоченной парой и обозначается Еслито вместомы пишемУпорядоченная пара определяется так:Аналогичным образом определяетсятройкаэлементов: Нетрудно доказать, что

Пусть и– множества.Функцией(илиотображением)называется множество упорядоченных паргдеудовлетворяющее условиям:

Функция называется такжесемейством элементов, заиндексированных множеством (здесь – множество индексов, а элементы семейства принадлежат множествуВ частности, отображение(где– множество натуральных чисел) можно назватьпоследовательностью элементов (элементы берутся из множества

Аксиома объединения

Здесь – множество, элементы которого являются элементами множеств, принадлежащихЕсли представить множествов видето–объединениемножеств, входящих вДопустима также записьЕслитоПересечениеопределяется следующим образом:

Существование пересечения обосновывается аксиомой Мы пишемили просто

Аксиома бесконечности

Эта аксиома утверждает существование хотя бы одного бесконечного множества.

Введём ещё одно обозначение (– равенство по определению):

Очевидно, знак обозначает“существует единственное...”

Аксиомы подстановки

где

Эта аксиома утверждает, что если при фиксированных формулаоднозначно определяеткак функцию отто для любого множествасовокупность всех значений функции на элементах изтакже образует множество. Отметим, что– это не одна аксиома, а бесконечная серия аксиом.

Аксиомы выделения

Это группа аксиом, позволяющих в любом множестве выделить подмножество, определяемое условием

Аксиома степени

Здесь постулируется существование множества всех подмножеств данного множества.

Аксиома выбора

Эта аксиома уже встречалась в разделе 2.2. Здесь мы её приведём в более сильной формулировке. Пусть – семейство множеств, занумерованных множествомипри всехДекартовым произведением называется отображение такое, чтопри всехАксиома выбора утверждает, что если множествонепусто и каждоенепусто, то декартово произведениетакже непусто. Иными словами, в каждом множествеможно выбрать по одному элементу. Так как семейство множеств– это отображението аксиому выбора можно записать так:

если то

Фраза “является отображением” расшифровывается так:

Если, пользуясь аксиомой расписать условиезатем расписатьии, наконец, с помощьюрасписать равенства видамы получим формулировку аксиомы выбора на языке логики предикатов.

Аксиома регулярности

Эта аксиома запрещает соотношения вида и т.д. Докажем, например, невозможность соотношенияПустьТак както по аксиомесуществуеттакое, что при всехНо тогдаиЗначит,

Аксиоматика Гёделя – Бернайса

Эту систему аксиом называют теорией классов. Основные неопределяемые понятия –множествоикласс. Каждое множество является классом, но не всякий класс – множеством. Классы мы будем обозначать большими буквами, а множества - маленькими.

Аксиома

–множество).

Можно понятие “множество” исключить из списка неопределяемых понятий; тогда аксиома будет определением множества.

Аксиомы повторяют аксиомы ино уже для классов.

Аксиома подстановки

Аксиомы образования классов

Аксиома выбора и аксиома регулярности –

формулируются так же, как

Система аксиом Гёделя – Бернайса, в отличие от системы Цермело – Френкеля, состоит из конечногочисла аксиом. Доказано, что каждая теорема изZFявляется теоремой вGBи каждая теорема изGB, в которой говорится только о множествах, является теоремой вZF. Аксиома выбора не зависит от других аксиом системыGB.

83