Глава 2 Теория множеств

Теорию множеств называют фундаментом математики. На основе теоретико-множественных понятий формируются обычно все остальные математические понятия. Например, в элементарной математике рассматриваются множество точек и множествопрямых, элементы которых связаны некоторыми соотношениями. При этом соотношение между точками – это бинарное отношение нат.е. подмножество множествасоотношение между прямыми – подмножество множестваа соотношение между точкой и прямой – это подмножество множестваДалее, функцияэто отображениеодного множества в другое (здесьобласть определения функции). В разных разделах математики часто используются операции над множествами – пересечениеобъединениеразностьОднако для многих современных разделов математики (и, в частности, в нашем курсе математической логики) совершенно недостаточно лишь элементарных понятий и фактов теории множеств, а требуются гораздо более глубокие сведения.

Основные идеи теории множеств были заложены немецким математиком Георгом Кантором в середине XIXвека. В концеXIX– началеXXвека было создано учение о мощности множества, сформулирован принцип трансфинитной индукции и придуманы многие конструкции, без которых современная математика немыслима. Однако вскоре в стройном здании теории множеств обнаружились трещины – логические противоречия, называемыеантиномиями теории множеств. Устранить эти противоречия была призванааксиоматическая теория множеств. Первой системой аксиом теории множеств быласистема аксиом Цермело – Френкеля(ZF),затем появиласьсистема аксиом Гёделя – Бернайса(GB)и другие аксиоматические системы. СистемаGBоснована на идее различения понятий “множество” и “класс” (грубо говоря, не всякая совокупность объектов имеет право называться множеством, запрещается существование таких “множеств”, как, например, “множество всех множеств”). Аксиоматизация теории множеств выдвинула такие вопросы, какнезависимость аксиом,непротиворечивость,полнота системы аксиом, т.е. чисто логические вопросы. Эти вопросы будут обсуждаться в конце главы.

1. Мощность множества

Мощностью конечного множества мы будем называть количество его элементов. Оказывается, по количеству элементов можно сравнивать и бесконечные множества, т.е. не все бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов. Точные формулировки мы дадим позже. Для конечного множества его мощность (т.е. количество элементов) обозначимЭто число принадлежит множеству–расширенному множеству натуральных чисел. Чтобы изложение было целикомтеоретико-множественным, нам надо дать определение натурального числа в терминах теории множеств. Это делаетсяиндуктивно: число 0 – это множество(пустое множество); число 1 – это множество(состоящее из одного элемента); число 2 – это множествочисло 3и т.д. Иными словамиОтсюда, конечно, следует, что

Не определяя пока “количество элементов” бесконечного множества, мы можем легко определить, что значит, что два множества “состоят из одинакового количества элементов”.

Множества иназываютсяэквивалентными(илиравномощными), если существует взаимно однозначное отображение множествана множество

Для эквивалентных множеств мы будем писать или