Примеры решения задач

1. Пусть – плоскость, = – предикат равенства (понимаемый как совпадение точек),“x и у находятся на расстоянии 1 друг от друга”. Выразить в модели следующие предикаты:“x и у находятся на расстоянии друг от друга”,“расстояние междуиравно 2”.

Решение. Понятно, что расстояние между ибудетв том и только том случае, если найдётся точкана расстоянии 1 от каждой из них, и расстояние будет равно 2, если эта точка единственная. Поэтому

2. Выразить в модели предикат

Решение. Понятно, что в том и только том случае, еслии междуицелых чисел нет. Поэтому

3. Выразить в модели предикат равенства.

Решение.

4. Пусть N– расширенное множество натуральных чисел, сложение и умножение понимаются в обычном смысле. Выразить в моделиследующие предикаты: делится на “остаток от деления наравен– степень числа 2”.

Решение. Понятно, что в том и только том случае, еслипредставимо в видепри некоторомN. Следовательно, Предикатможно записать многими способами, например, так:Далее,делится наесли и только еслипредставим в видет.е.Предпоследний предикат (обозначим егоговорит о том, чтопри некоторомпричёмВ свою очередь,означает, чтоипри некоторомТаким образом,

Наконец, степень двойки характеризуется тем, что все её делители, кроме 1, – целые числа. Значит,

–степень 2”

5. Доказать, что в модели предикатневыразим.

Доказательство. Рассмотрим автоморфизм данной модели. Так как предикаты = и< инвариантны относительно этого автоморфизма, а предикат не инвариантен (он превращается в предикатпри применении автоморфизма), то предикатневыразим.

6. Допускает ли модель элиминацию кванторов?

Решение. Ответ будет отрицательным, если мы докажем, что предикат выразим с помощью формулы с кванторами, но не выразим с помощью бескванторной формулы. Действительно, формулу с кванторами написать несложно:Далее, бескванторная формула, если бы она для этого предиката существовала, получалась бы из атомарных формулс помощью логических связок. Но ситуациянеотличима от ситуациитак как в обеих ситуациях значения истинности атомарных формул одни и те же. Значит,в том и только том случае, когдано это неверно. Значит, предикатневыразим с помощью бескванторной формулы, и модельне допускает элиминацию кванторов.

Задачи для самостоятельного решения

1. Выразить в сигнатуре модели предикат

Ответ:

2. Выразить в сигнатуре модели следующие предикаты:ивзаимно просты”, является наибольшим общим делителем чисели

Ответ:

3. Выразить в сигнатуре модели предикат

Ответ:

4. Выразить в сигнатуре модели трёхместный предикат

Решение. Пусть Так както

5. Указать автоморфизм модели доказывающий невыразимость предиката.

Ответ: например,

6. Рассмотрим модель где– одноместная функция. Выразим ли в сигнатуре этой модели предикат

Ответ: нет.

Указание: рассмотреть автоморфизм

7. Доказать, что предикат невыразим в множестве целых положительных чисел с предикатом равенства иделит

Указание: число 2 в данной сигнатуре неотличимо от другого простого числа.

8. Написать общий вид предикатов, выразимых в сигнатуре модели где– бесконечное множество.

Ответ:

9