ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ

3.1. Аксиоматика натуральных и действительных чисел

Аксиомы Пеано натуральных чисел

Множеством натуральных чисел мы будем называть любое множество на котором определена операция следования (элемент интерпретируется как элемент множества непосредственно следующий за элементом и выполняется ряд аксиом (аксиомы Пеано). Для простоты мы будем пока равенство понимать как совпадение элементов и (не описывать аксиоматически отношение равенства).

Аксиомы Пеано:

(П1) (аксиома наличия наименьшего элемента);

(П2)

(П3) (аксиома индукции). Пусть – подмножество множества такое, что выполняются условия:

(а)

(б)

Тогда

Определим сложение двух натуральных чисел. Пусть Положим: при (индуктивное определение). Ввиду аксиомы индукции мы можем считать, что определено для всех

Докажем свойство коммутативности натуральных чисел, т.е. что Для этого нам понадобятся две леммы.

Лемма 1.

Доказательство проведём индукцией по При утверждение очевидно. Пусть докажем, что Имеем:

Лемма 2. для любых

Доказательство. Индукция по При получаем: Пусть при всех и некотором Докажем, что то же верно для Имеем: что и требовалось.

Теорема 1. при всех

Доказательство. Индукция по При утверждение следует из леммы 1. Пусть при всех и некотором Докажем, что то же верно для Имеем (с учётом предположения индукции и леммы 2): Теорема доказана.

Аналогично доказывается закон ассоциативности

На множестве натуральных чисел можно определить отношение порядка: а также операцию умножения: С помощью аксиом Пеано можно доказать законы ассоциативности и коммутативности умножения, а также закон дистрибутивности Доказываются также свойства неравенств: и многие другие. Тем самым аксиомы Пеано позволяют построить строгую и стройную теорию натуральных чисел.

Заметим, что любое множество (независимо от его природы) мы называем множеством натуральных чисел, если оно удовлетворяет аксиомам Пеано. Образно говоря, если бы множество стульев удовлетворяло аксиомам Пеано, мы стулья называли бы натуральными числами. Не следует ли отсюда, что множество натуральных чисел не одно, а таких множеств огромное количество? Вообще говоря, следует, но не надо этого бояться. Ниже мы докажем, что любые два “множества натуральных чисел” (т.е. два множества А и В, удовлетворяющие аксиомам Пеано) изоморфны друг другу, т.е. существует взаимно однозначное соответствие сохраняющее операцию следования: Значит, множество натуральных чисел единственно с точностью до изоморфизма. Для других аксиоматических систем ситуация может быть совсем иной. Например, аксиомы группы не определяют объект однозначно с точностью до изоморфизма. В самом деле, две неизоморфные группы удовлетворяют аксиомам группы (ассоциативность, наличие единицы, наличие обратного элемента).

Теорема 2. Любые два множества А и В, удовлетворяющие аксиомам (П1)-(П3), изоморфны друг другу.

Доказательство. Ввиду аксиомы (П1) в А есть наименьший элемент а в В – наименьший элемент Построим индуктивно отображение Положим и вообще, если то полагаем По аксиоме (П3) продолжается до всего А и По аксиоме (П2) взаимно однозначно. Равенство следует из определения отображения

Аксиоматика действительных чисел

Множество действительных чисел мы будем рассматривать как множество, на котором определены операция сложения умножения отношение порядка и выполняются аксиомы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. (аксиома Архимеда). Каковы бы ни были действительные числа существует натуральное число такое, что

17. (аксиома непрерывности). Если – непустые подмножества множества действительных чисел и при всех то существует действительное число такое, что (т.е. при

Как видно, по форме построения аксиомы (16) и (17) отличаются от других аксиом. Правда, аксиому Архимеда можно переписать так: N а аксиома непрерывности переписывается так: RНо, в отличие от аксиом (1)-(15), не все кванторы имеют областью определения множество действительных чисел: в аксиоме Архимеда квантор действует на натуральные числа, а в аксиоме непрерывности – на подмножества. Мы будем говорить, что аксиомы (1)-(15) являются формулами логики первого порядка, а аксиомы (16), (17) таковыми не являются (точные определения будут даны в следующем разделе).

В курсе математического анализа доказывается, что аксиома непрерывности эквивалентна принципу вложенных отрезков, а также теореме о существовании точной верхней грани непустого ограниченного множества. Следовательно, аксиома (17) может быть заменена на одно из этих утверждений.

Отметим, что множество действительных чисел определяется аксиомами (1)-(17) однозначно с точностью до изоморфизма. Однако, доказывать это утверждение мы не будем. Аксиом (1)-(16) для определения множества R недостаточно, так как этим аксиомам удовлетворяет также множество Q рациональных чисел. Это рассуждение показывает также независимость аксиомы (17) от предыдущих аксиом.

Примеры решения задач

1. Доказать, используя аксиомы Пеано, что для любых натуральных чисел

Доказательство. Индукция по При имеем: Пусть теперь Тогда Утверждение доказано.

2. Доказать, что для любых натуральных чисел

Доказательство. Индукция по При утверждение очевидно. Пусть Тогда

3. Используя аксиомы действительных чисел, доказать, что для любого действительного числа

Доказательство. По аксиоме (9) Пусть – число, противоположное к (оно существует по аксиоме (3)). Тогда По аксиомам (4) и (1) получаем: т.е.

4. Используя аксиомы действительных чисел, доказать, что

Доказательство. Предположим, что соотношение неверно. По аксиоме (6) Значит, по аксиоме (13) Пусть (т.е. – элемент, противоположный элементу 1 и существующий по аксиоме (3)). Тогда Прибавим к обеим частям неравенства число (здесь мы используем аксиомы (14), (2), (4) и легко доказываемое утверждение Отсюда (интересный результат: Умножим на (используя аксиому (15)):

Докажем теперь вспомогательное утверждение о том, что Действительно, так как то т.е. Прибавим 1: Воспользуемся аксиомой (1):

Ранее было доказано, что Следовательно, Мы получили противоречие с предположением. Утверждение доказано.

Задачи для самостоятельного решения

1. Используя аксиомы Пеано, доказать, что для любых натуральных чисел справедливы равенства

2. Пользуясь аксиомами действительных чисел, доказать их свойство плотности: для любых если то существует такое что

3. Доказать, что для любого действительного числа существует натуральное число такое, что

4