2.2. Аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело

Одной из аксиом аксиоматической системы Цермело – Френкеля является аксиома выбора. Фактически мы ею уже пользовались: например, когда доказывали, что всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество. Дадим точную формулировку этой аксиомы.

Аксиома выбора. Если – непустое множество, то в каждом его непустом подмножестве можно выбрать по одному элементу. Иными словами, существуетфункция выбора такая, чтопри любом непустом

Замечание. Хотя аксиома выбора кажется интуитивно очевидной, не все математики её принимают. В частности, интуиционисты и конструктивисты её отвергают за её неконструктивный характер (в самом деле, аксиома утверждает, что можно выбрать по одному элементу, но как это сделать, она не говорит).

Вполне упорядоченные множества

Определение. Множество называетсявполне упорядоченным, если оно линейно упорядочено и любое непустое его подмножество имеет наименьший элемент.

Утверждение. Линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным, если и только если оно не содержит бесконечных убывающих последовательностей элементов

Доказательство. Необходимость. Пусть вполне упорядочено и в нём есть убывающая цепьТогда множествоне имеет наименьшего элемента – противоречие.

Достаточность. Пусть – линейно упорядоченное множество без бесконечных убывающих цепей элементов. Рассмотрим какое-нибудь непустое подмножествоПусть– какой-нибудь элемент изЕсли он не наименьший, то существуеттакое, чтоЕслине наименьший, то существуеттакое, чтоИ т.д. Еслине имеет наименьшего элемента, то существует бесконечная убывающая цепь, что противоречит условию.

Пример 1. Множество N натуральных чисел с обычным отношением порядка является вполне упорядоченным.

Пример 2. Множество NN с отношением лексикографического порядка илиявляется вполне упорядоченным.

Докажем это. То, что это множество линейно упорядочено, очевидно. Осталось доказать, что любое непустое подмножество имеет наименьший элемент. Пусть NN – непустое подмножество. Выберем элемент у которого– наименьшее средитаких, чтоРассмотрим теперь лишь те элементы изкоторые имеют видСреди всех такихвыберем наименьшееНетрудно проверить, что– наименьший элемент в

Пример 3. Множество с лексикографическим порядком

Доказательство проводится аналогично примеру 2.

Свойства вполне упорядоченных множеств

1. любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено;

2. если и– два непересекающихся вполне упорядоченных множества, то порядок на множествеопределённый следующим образом:

превращает во вполне упорядоченное множество.

Доказательство очевидно.

Определение. Пусть – линейно упорядоченное множество.Начальным отрезком множества назовём такое подмножествочто

Лемма 1. Для любых двух начальных отрезков линейно упорядоченного множествалиболибо

Доказательство. Пусть Тогда существуетВозьмём любой элементЕсли быточто невозможно. Значит,Отсюда следует, чтоИтак, любой элементлежит вСледовательно,

Определение. Два линейно упорядоченных множества называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.

Теорема 1. Для любых двух вполне упорядоченных множеств одно из них изоморфно начальному отрезку другого.

Доказательство. Пусть – вполне упорядоченные множества. Рассмотрим изоморфизмыгде– начальные отрезки множествТакие изоморфизмы есть. Например, еслиинепусты, аи– наименьшие элементы множествито– изоморфизм начальных отрезков. Докажем теперь, что для каждого начального отрезкамножестваизоморфизмгде– начальный отрезок множестваесли существует, то однозначен. Действительно, пусть– изоморфизмы, где– начальный отрезок множестваПусть– наименьший элемент изтакой, чтоМы можем считать, чтоПоложимОчевидно,отображает взаимно однозначнонаДляПо условиюиПоэтомупри некоторомИмеем:что противоречит равенству

Пусть – объединение всех начальных отрезковдля которых существует изоморфизмна начальный отрезокмножестваРассмотрим отображениеопределённое следующим образом: еслитодля некоторогодля которого есть изоморфизмположимЭто определение является корректным, так как еслии– изоморфизм, то либолибоЕслитои– изоморфизмы начального отрезкана начальный отрезокилиПоэтомуЗначит,что доказывает корректность определения отображения

Очевидно, – наибольший начальный отрезок вотображающийся на начальный отрезок вПустьДокажем, что либолибоПредположим, чтоиПустьПоложимОчевидно,и– начальные отрезки множествисоответственно. Определим отображениеполагаядляиОчевидно,– изоморфизм начальных отрезковиТак как– наибольший начальный отрезок, изоморфный начальному отрезку втоОднако,Мы получили противоречие. Следовательно,илиВ первом случае множествоизоморфно начальному отрезку множестваво втором случае наоборот. Теорема доказана.

Лемма 2. Пусть – вполне упорядоченные множества и множествоизоморфно начальному отрезку множестваТогда этот изоморфизмопределяется единственным образом.

Доказательство. Пусть – вложение, сохраняющее порядок, и– начальный отрезок множестваНадо доказать, чтоПустьиМожно считать, чтоТак как– начальный отрезок,итодля некоторогоТак кактозначит,Так как– вложение, тоно это невозможно. Таким образом,

Следствие. Вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему начальному отрезку, отличному от

Доказательство. Пусть – вполне упорядоченное множество и– вложение, сохраняющее порядок, причём– начальный отрезок множестваТождественное отображениетоже является изоморфизмомна начальный отрезокоткуда по лемме получаем:Следовательно,