Примеры решения задач
Установить непосредственно (без применения теоремы Шрёдера – Бернштейна) взаимно однозначное соответствие между отрезком
и интервалом
Решение.
Возьмём какую-нибудь последовательность,
содержащую точки 0 и 1, например,
Пусть
и т.д. Очевидно,
Рассмотрим отображение
определённое правилом
Нетрудно видеть, что
– взаимно однозначное отображение
отрезка
на интервал
Написать какую-нибудь формулу, задающую взаимно однозначное соответствие между множествами N и Z.
Решение.
Z
N
Отображение
N
Z, требуемое
построить, устроено так:
и т.д. Теперь нетрудно придумать формулу:
где
обозначает целую часть числа
Доказать, что если
– конечная мощность, то
Доказательство.
поэтому
.
Далее,
поэтому
Доказать, что множество Q рациональных чисел счётно.
Доказательство.
Так как N
Q,
то существует
вложение
N
в
Q.
Ввиду
теоремы Шрёдера – Бернштейна достаточно
теперь построить вложение Q
в N
или вообще
Q
в какое-либо
счётное множество. Выберем для каждого
Q
представление
в виде
где
Z,
N
и дробь
несократима. Тогда отображение
будет вложениемQ
в Z
N,
т.е. в
счётное множество.
Найти мощность множества всех возрастающих последовательностей натуральных чисел.
Решение.
Пусть
– множество всех возрастающих
последовательностей
натуральных чисел. Каждой такой
последовательности поставим в соответствие
последовательность
из нулей и единиц. Мощность множества
всех последовательностей из 0 и 1 равна
мощности множества всех подмножеств
множестваN,
т.е. равна
Значит,
Наоборот, если дана последовательность
из 0 и 1, поставим ей в соответствие
возрастающую последовательность
натуральных чисел
... Это отображение является вложением,
поэтому
По теореме Шрёдера – Бернштейна
6.
Найти мощность множества всех отображений
N
N.
Решение.
Следовательно,
Ответ: мощность равна
Задачи для самостоятельного решения
Пусть
– счётное множество,В
– множество мощности континуума. Какую
мощность может иметь множество: а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответы:
а)
б)
конечно или счётно, в)
г)
д)
е)
Найти мощность множества всех:
а) многочленов с целыми коэффициентами,
б) многочленов с действительными коэффициентами,
в)
степенных рядов
с рациональными коэффициентами.
Ответы:
а)
б)
в)
Сколько всего отношений эквивалентности:
а) на счётном множестве,
б) на множестве мощности континуума?
Ответы:
а)
б)
Сколько всего открытых множеств на плоскости R
Ответ:
Сколько всего непрерывных функций R
R?
Ответ:
Найти мощность:
а) множества всех подмножеств множества R,
б) множества всех конечных подмножеств множества R,
в) множества всех счётных подмножеств множества R.
Ответы:
а)
б)
в)
Сколько всего подпространств имеет п-мерное линейное пространство над полем R?
N)
Ответ:
Сколько непересекающихся кругов можно расположить на плоскости?
Ответ:
