Глава 2. Теория множеств

Теорию множеств называют фундаментом математики. На основе теоретико-множественных понятий формируются обычно все остальные математические понятия. Например, в элементарной математике рассматриваются множество точек и множествопрямых, элементы которых связаны некоторыми соотношениями. При этом соотношение между точками – это бинарное отношение нат.е. подмножество множествасоотношение между прямыми – подмножество множестваа соотношение между точкой и прямой – это подмножество множестваДалее, функцияэто отображениеодного множества в другое (здесьобласть определения функции). В разных разделах математики часто используются операции над множествами – пересечениеобъединениеразностьОднако, для многих современных разделов математики (и, в частности, в нашем курсе математической логики) совершенно недостаточно лишь элементарных понятий и фактов теории множеств, а требуются более глубокие её результаты.

Основные идеи теории множеств были заложены немецким математиком Георгом Кантором в середине XIX века. В конце XIX – начале XX века было создано учение о мощности множества, сформулирован принцип трансфинитной индукции и были придуманы многие конструкции, без которых современная математика немыслима. Однако, вскоре в стройном здании теории множеств обнаружились трещины – логические противоречия, называемые антиномиями теории множеств. Устранить эти противоречия была призвана аксиоматическая теория множеств. Первой системой аксиом теории множеств была система аксиом Цермело – Френкеля (ZF), затем появилась система аксиом Гёделя – Бернайса (GB) и другие аксиоматические системы. Система GB основана на идее различения понятия “множество” и “класс” (грубо говоря, не всякая совокупность объектов имеет право называться множеством, запрещается существование таких “множеств”, как, например, “множество всех множеств”). Аксиоматизация теории множеств выдвинула такие вопросы, как независимость аксиом, непротиворечивость, полнота системы аксиом, т.е. чисто логические вопросы. Эти вопросы будут обсуждаться в конце главы.

1. Мощность множества

Мощностью конечного множества мы будем называть количество его элементов. Оказывается, по количеству элементов можно сравнивать и бесконечные множества, т.е. не все бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов. Точные формулировки мы дадим позже. Для конечного множества его мощность (т.е. количество элементов) обозначимЭто число принадлежит множествуN–расширенному ряду натуральных чисел. Чтобы изложение было целиком теоретико-множественным, нам надо дать определение натурального числа в терминах теории множеств. Это делается индуктивно:

число 0 – это множество (пустое множество);

число 1 – это множество (состоящее из одного элемента);

число 2 – это множество

и т.д.

То есть Отсюда, конечно, следует, что

Не определяя пока количество элементов бесконечного множества, мы можем легко определить, что значит, что два множества состоят из одинакового количества элементов.

Определение. Множества и называютсяэквивалентными (или равномощными), если существует взаимно однозначное отображение множества на множество

Для эквивалентных множеств мы будем писать или