Примеры решения задач

1. Доказать, что для любых ординалов справедливо равенство

Доказательство. Будем отождествлять ординал со вполне упорядоченным множеством, соответствующим этому ординалу. Построим отображениеследующим образом. Еслигдето

Очевидно, – взаимно однозначное отображение. Проверим, чтосохраняет порядок. ПустьСчитаем, чтоТогдаЕслито либолиболибоВ первых двух случаяхпо определению лексикографического порядка. В третьем случаепоэтомуРазберём теперь случай, когдаПусть, например,Тогда неравенствовлечёт, чтоНо тогда иРавенстводоказано.

2. Привести пример ординалов для которых

Решение.– это объединение двух множествследующих друг за другом. Поэтомуимеет наибольший элемент, у которого нет непосредственно предшествующего. Значит,

3. Доказать изоморфизм абелевых групп RиRQ.

Доказательство. ГруппуR можно рассматривать как линейное пространство над полемQ. Выясним, какую размерность имеет это пространство, т.е. какова мощность его базиса. Пусть– базис пространстваR над полемQиТак как|Q|ито мощность множества всех линейных комбинацийгдеQ, равнаИтак,|R|Ясно, что пространство RQ имеет такую же мощность базиса, что и R. Взаимно однозначное соответствие между базисами продолжается до изоморфизма линейных пространств. Значит,RQR как линейные пространства, а значит, и как абелевы группы. Заметим, что как кольцаRQиR не изоморфны (это ясно хотя бы потому, чтоR – поле, аRQ– нет).

4. Какому начальному отрезку множества изоморфно множество

Решение.NNТак как сравнение строчекива такжеивосуществляется справа налево, то естественно рассмотреть вподмножествоNОно и будет начальным отрезком, изоморфным

5. Какой порядковый тип имеет множество

Решение.N

6. Доказать, что для ординальных чисел имеют место импликации Привести пример такихчтоно

Решение. Так както можно множествосчитать начальным отрезком множестваотличным отОтсюда ясно, что– начальный отрезок множестване совпадающий сТаким образом,Для доказательства второй импликации будем вкладывать множествовт.е. рассматривать изоморфизмыгде– начальные отрезки множествсоответственно. По лемме Цорна существует максимальный (по области определения) из таких изоморфизмов. Понятно, что для этого изоморфизмалиболибоВ первом случае мы имеем:что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь случай, когдаТак кактоотображает элементв элемент изЗначит,вДокажем, чтосуществует для всехи выполняется неравенствоПусть– наименьший элемент изтакой, чтолибо не существует, либоПри всехсуществует иЗначит,Отсюда следует, чтосуществует иа это противоречит выбору элементаТаким образом,определено на всём множествет.е.

Пример, когда ностроится очень просто:

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать для ординалов импликации:

(а)

(б)

(в)

2. Пусть – ординалы иОрдиналназываетсяразностью ии обозначаетсяеслиДоказать, что разностьсуществует и единственна.

3. Пусть – ассоциативное кольцо. Для ординаловопределимследующим образом:иесли– предельный ординал. Доказать, что существует ординалтакой, чтопри

Указание:взять ординалпо мощности большим, чем кольцо

4. Построить множество Какова мощность этого множества?

Ответ:состоит из последовательностейгдеNс лексикографическим порядком (сравнение справа налево). Мощность множестваравна

5. Доказать, что абелевы группы R иRRизоморфны.