2.3. Кардинальные и ординальные числа Ординальная арифметика

Определение. Порядковым типом вполне упорядоченного множества называется совокупность всех вполне упорядоченных множеств, изоморфных множеству

Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется ординальным (или порядковым) числом или просто ординалом. Ординальные числа, соответствующие конечным вполне упорядоченным множествам, обозначаются 0, 1, 2, ... (их можно отождествить с натуральными числами). Например, 3 – это порядковый тип, соответствующий трёхэлементной цепи (очевидно, все трёхэлементные цепи изоморфны между собой). Наименьшее бесконечное ординальное число – это порядковый тип множестваN натуральных чисел. Оно обозначается символом

Введём отношение порядка среди ординалов. Пусть – ординалы, а– соответствующие им вполне упорядоченные множества. В предыдущем разделе было доказано, что либо множествоизоморфно начальному отрезку множествалибо наоборот. Если множествоизоморфно начальному отрезку множествато считаем

Докажем следующие свойства ординалов:

(1) (2)(3)

Доказательство. Свойство (1) очевидно. Пусть теперь иТогда существуютизотонные (т.е. сохраняющие порядок) вложения итакие, что– начальный отрезок ва– начальный отрезок вПроизведениеявляется изотонным вложениемва– начальный отрезок множестваЗначит,т.е. выполнено (2). Осталось доказать свойство (3). Пустьи– изотонные вложения, причём– начальный отрезок ва– начальный отрезок вПроизведениеявляется изотонным вложением. По следствию из леммы предыдущего раздела получаем, что– тождественное отображение. Аналогично доказывается, что– тождественное отображение. Значит,и– изоморфизм, поэтому

Как обычно, мы считаем, что еслииНапример,Понятно, что изследует

Введём теперь операцию сложения двух ординалов.

Определение. Пусть и– ординалы, аи– соответствующие им вполне упорядоченные множества. Будем считать, чтоВведём на множествепорядок, полагая, что наипорядок прежний и, кроме того,приЯсно, чтовполне упорядочено. Его порядковый тип называетсясуммой

Легко видеть, что (множествоимеет максимальный элемент, ане имеет. Таким образом,в общем случае.

Закон ассоциативности имеет место для любых ординалов. Для доказательства рассмотрим вполне упорядоченные множествасоответствующие ординаламБудем считать, что они попарно не пересекаются. Тогда множество(гдеприсоответстует как числутак и числуЗначит,

Определение. Пусть – ординалы, соответствующие вполне упорядоченным множествамПроизведением называется порядковый тип лексикографического произведения(напомним, чтоесли либолибо

Нетрудно видеть, что Следовательно,в общем случае. Однако, ассоциативностьимеет место для любых ординалов – это следует из легко проверяемого изоморфизмаВажное свойство ординалов даёт следующая теорема.

Теорема 1. В любом множестве ординалов есть наименьший элемент.

Доказательство. Пусть – множество ординалов. Обозначим черезвполне упорядоченное множество, соответствующее ординалуВозьмём какое-либои удалим из рассмотрения всекоторые не изоморфны начальным отрезкам множестваБудем отождествлять множествос его изоморфным образом, т.е. считать, что– начальный отрезокДля каждоготакого, чтоположимЗатем выберем наименьший элемент из этихЛегко видеть, что– наименьший ординал в множестве

Определение. Ординал называетсяпредельным, если соответствующее ему вполне упорядоченное множество не имеет наибольшего элемента, и непредельным, если это не так.

Например, 1, 2, – непредельные ординалы, а– предельные. Каково бы ни было ординальное числосуществует число, непосредственно следующее за ним – это числоНетрудно проверить, что ординалявляется предельным в том и только том случае, если он не имеет непосредственно предшествующего, т.е. не представим в видегде– некоторый другой ординал.

Теорема 2. Всякий ординал представим в видегде– предельный ординал или 0, а– натуральное число или 0.

Доказательство. Если то утверждениен теоремы очевидно. ПустьРассмотрим вполне упорядоченное множествосоответствующее ординалуЕслине имеет максимального элемента, то– предельный ординал, и он представим в видеЕслиимеет максимальный элементто рассмотрим множествоВ этом множестве обозначим максимальный элемент (если он есть) черезЗатем рассмотрим множествои т.д. Так какивполне упорядочено, то эта цепь конечна. Значит, при каком-томножествоне содержит максимального элемента. В этом случаегде– предельный ординал.

Теорема 3. Каково бы ни было множество ординалов существует ординалтакой, чтопри всех

Доказательство. Рассмотрим вполне упорядоченные множества соответствующие ординаламПустьиТогдапри всехСледовательно, порядковый типмножества(вполне упорядоченное каким-нибудь отношением порядка) больше всех

Замечание. Если в теореме 3 мы возьмём “множество всех ординалов”, то получим странное утверждение: ординал больше любого ординала вообще, а значит, больше самого себя:что невозможно. Борьба с эти противоречием осуществляется следующим образом:все ординалы не образуют множества. Итак, мы запрещаем такие “множества”, как “множество всех множеств”, “множество всех ординалов”, “множество всех линейных пространств” и т.д.

Теорема 4. Если – множество ординалов, то существует

Доказательство. По теореме 3 существует ординал такой, чтопри всехМы можем теперь рассмотреть вполне упорядоченное множествосоответствующее ординалуи считать множествасоответствующие ординаламначальными отрезками множестваТогда– также начальный отрезок множестваПусть– порядковый тип множестваЯсно, что