задачи по теории вер. и мат стат

1.В урне 4 белых и 6 черных шаров. Выбрали наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

2. Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на которых написано по одной букве. Карточки перемешивают и берут безвозвратно по одной. Найти вероятность того, что буквы будут взяты в нужном порядке.

3. В партии из 10 деталей семь деталей — стандартных.

Найти вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей три

детали стандартные.

4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, что они различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

5. На отрезке АВ длиной 20 см помещен меньший отрезок CD длиной 10 см. Найти вероятность того, что наугад брошенная на отрезок АВ точка попадет внутрь отрезка CD.

6. Два игрока по очереди бросают игральную кость, каждый по одному разу. Выигрывает тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

7. В денежно-вещевой лотерее на серию 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Найти вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет.

8. Брошены одновременно две монеты. Какова вероятность

появления герба («орла») на одной из них?

9. Из карточек составлено слово ПОБЕДА. Буквы перемешаны. Найти вероятность того, что две наугад выбранные буквы гласные.

10. Из колоды карт (52 штуки) наугад выбирают три карты.

Какова вероятность того, что это будут тройка, семерка, туз?

11. Кодовый замок состоит из пяти барабанов. Каждый барабан имеет 6 граней с цифрами от 1 до 6. Замок открывается, если набрано определенное число. Найти вероятность того, что при случайном наборе пяти цифр замок откроется.

12. Девять книг расставлены наугад на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

13. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что

сумма выпавших на них цифр будет равна 6.

14. Круглая мишень быстро вращается с постоянной скоростью. Пятая часть площади мишени окрашена в черный цвет, остальная часть — в белый. По мишени производится выстрел, причем попадание — достоверное событие. Найти вероятность того, что пуля попадет в окрашенную в черный цвет часть мишени.

15. На плоскости начерчены концентрические окружности радиусами 5 и 10 см. Найти вероятность того, что брошенная наугад в большой круг точка попадет в кольцо между большей и меньшей окружностями.

16. Для двух химических реакторов вероятности бесперебойной работы на протяжении одного часа р1 = 0,75 и р2 = 0,8.

Определить вероятность того, что:

а) оба реактора выйдут из строя в течение часа;

б) оба реактора будут работать бесперебойно в течение часа, в течение трех часов;

в) будет работать бесперебойно в течение часа хотя бы один реактор;

г) будет работать бесперебойно в течение часа только один реактор.

17. При стрельбе по мишени вероятность сделать выстрел на

оценку «отлично» р1 = 0,3, на «хорошо» — р2 = 0,4. Найти вероятность выстрела на оценку не ниже «хорошо».

18 Вероятность изготовить детали 1-го сорта на первом станке р1 = 0,7, на втором станке — р2 = 0,8. На первом станке изготовлено две детали, на втором — три. Найти вероятность того, что все они первого сорта.

19. Вероятность попадания в цель из первого орудия р1 = 0,8,

из второго — р2 = 0,7, из третьего — р3 = 0,9. Найти вероятность

того, что при залпе из всех трех орудий: а) хотя бы одно попадет в цель, б) только одно попадет в цель.

20. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

21. В пирамиде 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, без оптического прицела — с вероятностью 0,46.

Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из винтовки, взятой наугад из пирамиды.

22. Вероятность попадания в цель при одном выстреле р = 0,2.

Какова вероятность поразить цель, если 2% взрывателей дают отказы?

23. В урне 20 белых шаров и 10 черных. Вынули подряд 4 шара, причем каждый раз вынутый шар возвращали в урну.

Какова вероятность того, что два раза были вынуты белые шары?

24. В цехе при одинаковой производительности станки первого типа производят 94% деталей первого сорта, станки второго типа — 90%, третьего типа — 85%, причем все произведенные за

смену детали сложены в нерассортированном виде на складе.

Определить вероятность того, что взятая наугад деталь будет первого сорта, если в цехе 5 станков первого типа, 3 — второго и 3 — третьего.

25. Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из шести изготовленных на этом станке деталей четыре детали будут стандартными.

26. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партий исключен): три партии из четырех или пять партий из восьми?

27. Задача 1. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых

10 дефектных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки их качества. Построить многоугольник распределения, ряд распределений, найти функцию распределения случайной величины ξ — числа дефектных изделий в выборке. Построить график функции распределения.

28. Непрерывная случайная величина ξ имеет следующую

плотность распределения:

а) Найти величину коэффициента а; б) найти функцию распределения F(x); в) построить графики ϕ(x), F(x); г) определить вероятность попадания случайной величины ξ в интервал от 0 до π/4 (Р(0 ≤ ξ ≤ π/4)).

29. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты. Для

случайного числа появления герба построить ряд распределения,

многоугольник распределения, функцию распределения.

30. На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них

с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение. Построить многоугольник распределения вероятностей числа светофоров, пройденных автомашиной без остановки.

31. Плотность вероятности случайной величины ξ равна  

Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения случайной величины ξ; в) вероятность попадания ξ в интервал (0; 1/k).

32. Задана функция распределения непрерывной случайной ξ:

(показательное распределение).

Определить М(ξ), D(ξ).

33. По цели производится три независимых выстрела.

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле р = 0,4. Построить ряд распределения случайного числа попаданий в цель,

найти М(ξ), D(ξ) и σ(ξ).

34. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

35. Измерен диаметр у 270 валов хвостовика. Величины

измеренных диаметров оказались в диапазоне 66–90 см. Разбив

диапазон на интервалы длиной в 2 см, подсчитали частоту m попадания диаметра в данный интервал (см. таблицу):

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

36. . Среднее значение расстояния до ориентира, полученное по четырем независимым измерениям, равно 2250 м. Среднее квадратическое отклонение для измерительного прибора σ = 40 м. Систематическая ошибка отсутствует. Найти с надежностью 95% доверительный интервал для измеряемой величины.

37. На автоматической линии, работающей 12 часов, про-

водились наблюдения над случайной величиной ξ — моментом

отказа линии (500 наблюдений). Проверить согласованность теоретического и эмпирического законов распределения случайной величины по критерию χ2 Пирсона при уровне значимости α = 0,05.

38. По одной и той же теме проведены две контрольные работы. Выбранные пять студентов получили следующие оценки. Первая контрольная: 3, 4, 5, 3, 3; вторая контрольная: 2, 4, 4, 3, 4.

Найти коэффициент корреляции между оценками и прямые регрессии.

39. При 100 определениях дальности получены результаты, на

основании которых построена следующая таблица:

а) построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения;

б) найти среднее арифметическое и дисперсию, написать выражение закона распределения случайной величины.

40. В ящике 4 новых и 6 старых инструментов. Рабочему выдали 3 инструмента.

Найдите вероятность того, что: а) все выданные инструменты старые; б) два из трех инструментов старые.

41. В магазин поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 20%, второй — 45%, третьей — 35% изделий. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2%, для третьей — 4%. Найти вероятность того, что оказавшееся нестандартным изделие произведено на первой фабрике.

42. График функции распределения случайной величины ξ имеет вид, представленный на рис. 36.4. Найти математическое ожидание М(2ξ + 3), дисперсию D(2ξ + 3).

43. Даны случайные величины ξ и η:

Найти М(ξ + η).

44. Известно, что в одной из трех партий 2/3 деталей бракованные, а в двух других — все доброкачественные. Для контроля продукции наугад взята одна деталь. Найти вероятность обнаружения бракованной продукции.

45. В ящике среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Наудачу извлекли 10 фотокарточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

46. В сигнализатор поступили сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент времени Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

47. В первой урне 4 белых и 8 черных шаров, во второй — 3 белых и 5 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар — белый.

48. В группе 20 юношей и 10 девушек. На 3 заданных преподавателем вопроса получены 3 ответа. Найти вероятность того, что среди отвечавших два юноши и одна девушка.

49. В результате испытания случайная величина ξ приняла следующие значения: 16, 17, 9, 13, 21, 11, 7, 7, 19, 5, 17, 5, 20, 18, 11, 4, 6, 22, 21, 15, 15, 23, 19, 25, 1. Составить интервальный статистический ряд, разбив промежуток (0, 25) на 5 интервалов с одинаковыми длинами. Построить гистограмму.

50. Пятнадцать студентов группы, выбранных случайным образом, имеют следующие оценки по результатам сессии: 5, 4, 4, 3, 2, 2, 4, 3, 3, 5, 3, 3, 4, 2, 3. Составить статистический ряд, найти эмпирическое математическое ожидание, моду (наиболее вероятное значение), среднее квадратическое отклонение, построить полигон.

28) Из нормальной генеральной совокупности с известными

m = 130, σ = 40 извлечена выборка объемом n = 64 и найдено

выборочное математическое ожидание m* = 136,5. Требуется при

уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н0: m* = m

при конкурирующей: а) m ≠ m*; б) m* > m.

Найти выборочный коэффициент корреляции и прямые регрессии.

Контрольные вопросы к экзамену (зачету)

Теория вероятностей

1. События, операции над событиями.

2. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

5. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли.

6. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

7. Одномерные случайные величины: определение, их виды, законы распределения: ряд, функция распределения, плотность распределения.

8. Дискретные и непрерывные случайные величины и их законы распределения.

9. Основные числовые характеристики случайных величин.

10. Двумерные случайные величины и их законы распределения.

11. Корреляционная зависимость случайных величин.

12. Функции от случайных величин.

13. Закон больших чисел.

14. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

15. Оценки величин: точечная и интервальная. Их нахождения.

16. Понятие о доверительных интервалах и статистическая проверка гипотез.

Математическая статистика

1. Предмет и основные понятия математической статистики.

2. Выборочный метод. Способы представления выборки.

3. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки.

4. Понятие о доверительной вероятности. Доверительный интервал.

5. Методы расчета сводных характеристик выборки.

6. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

7. Построение выборочного уравнения регрессии.

8. Выбор меры корреляционной связи.

9. Случай криволинейной корреляции.

10. Статистические гипотезы и статистические критерии их проверки.

11. Критическая область принятия гипотезы.

12. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона . Применение критериев согласия для различных распределений

13. Критерий согласия. Теорема Пирсона о предельном распределении статистики. Критерий Стьюдента.