Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Статистика лб 2

.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
164.35 Кб
Скачать

Лабораторная работа 2

Метод наименьших квадратов. Аппроксимация рядов наблюдений. Регрессионный анализ.

2.1. Аппроксимация рядов наблюдений аналитической функцией.

Метод наименьших квадратов является одним из самых распространенных способов обработки результатов наблюдений. Будем описывать этот метод с помощью матричных форм.

Предположим, что в точках

получен ряд наблюдений

y1,y2,…..yk.

Требуется найти коэффициенты   прямой линии

, (2.1)

исходя из системы уравнений

, (2.2)

(i=0,1,…k), называемых условной системой, и требования минимума средней квадратической ошибки

min (2.3)

Предполагается, что наблюдения искажены случайными ошибками, а значения xi известны точно. Дифференцируя выражение (4.3) по  и  и приравнивая производные нулю, получим два линейных алгебраических уравнения для определения неизвестных::

(2.4)

(2.5)

Решая систему( 2.4)-(2.5), находим оценки параметров  и . Можно отметить, что матрица С системы (2.4)-(2.5) равна произведению двух прямоугольных матриц

=

или

С=XTX, где

X=- матрица системы (2.4) – (2.5) .

Наряду с линейной функцией ряды наблюдений можно аппроксимировать другими простыми аналитическими функциями, например, тригонометрическими функциями и экспонентами.

В качестве примера приведем аппроксимационную функцию вида

(2.6)

где

(2.7),

а T – период колебаний.

В случае m=2 ряд (4.6) имеет вид

(2.8)

Система нормальных уравнений в этом случае составляется из условия минимума функции

(2.9),

и имеет вид

(2.10)

Вычислив по значениям

все коэффициенты данной системы уравнений и решив ее, мы получим значения коэффициентов с0, с1 и с2.

Примеры

По значениям функции при (),приведенным в таблице , методом наименьших квадратов произвести аппроксимацию функции следующей аналитической формулой

где а

сутки

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

yi

1.00

0.52

-0.40

-0.38

0

-0.38

-0.60

0.18

yi

1.00

0.53

-0.38

-0.39

0.01

-0.40

-0.59

0.19

2.2. Метод множественной линейной регрессии.

Рассмотрим теперь метод множественной линейной регрессии, который используется для целей физико-статистического прогноза.

Предположим, что между неизвестной величиной Y ( предсказуемое или предиктант) и известными переменными Xi (предсказатели или предикторы) существует линейная связь

(2.11),

где сi - коэффициенты, которые находят методом наименьших квадратов по известным значениям Y и Xi для некоторой обучающей выборки из N случаев (k=1,2,…,N). При этом Nn.

Если ввести средние величины предикторов и предиктанта

отклонения от них, то есть величины

,

то уравнение (4.6) можно записать в виде

В соответствии с методом наименьших квадратов для определения коэффициентов сi имеем следующую систему нормальных уравнений

(2.12) где

,

Y’vk – фактическое значение предиктанта по данным обучающей выборки.

В ходе решения системы нормальных уравнений ( или после решения и оценки коэффициентов) можно рассчитать ряд величин, характеризующих точность полученного уравнения регрессии ( точность, соответствующая данной обучающей выбрки). Средняя квадратическая (стандартная) погрешность вычисляется по формуле

(2.13)

относительная ошибка определяется по формуле

(2.14)

а сводный (множественный) коэффициент корреляции рассчитывается из соотношения

(2.15),

где

(2.16)

средняя квадратическая величина Yk’.

Примеры.4.1.

Построить аппроксимационную кривую

по данным таблицы

x 1 2 3 4 5

y 671 970 1105 1285 1531

и построить данные таблицы и аппроксимационную функцию на графике

2.2.

Построить аппроксимационную кривую, вид которой представлен в примере 2.1. по данным таблиц

А

X 1 2 3 4 5 6 7 8

Y 150 300 550 680 900 1105 1280 1600

Б,

X 1 2 3 4 5 6 7 8

Y 0.1 0.22 0.33 0.45 0.6 0.65 0.7 0.79

В.

X 1 2 3 4 5 6 7 8

Y 65 75 81 92 101 111 120 132

и представить данные кривые на графике

ti

Xi

Cosω1ti

Cosω2ti

Cosω1ti *Cosω2ti

(Cosω1ti)2

(Cosω2ti)2

x Cosω1ti

x Cosω2ti

X апр

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0.5

0.52

0.7

0

0

.49

0

.364

0

.36

1.0

-0.40

0

-1

0

0

1

0

.4

-.5

1.5

-.38

-0.7

0

0

.49

0

.267

0

-.35

2.0

0

-1

1

-1

1

1

0

0

0.01

2.5

-0.38

-0.7

0

0

.49

0

.267

0

.35

3.0

-0.6

0

-1

0

0

1

0

.6

-.5

3.5

0.18

-.7

0

0

.49

0

.126

0

.35

сумма

-0.06

0

0

0

3.96

4

2.024

2.0

С0=0.0

С1=0.51

С2=0.5

ti

1

2

3

4

5

6 7

x

1

3

5

8

10

11 12

ti2

1

4

9

16

25

36 49

xiti

1

6

15

32

50

66 84