Математика / 3353

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

− x1 + 4x2 −3x3 =11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

457.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Задание 7. Даны вершины A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) треугольника.

Найти: 1) длину стороны АС; 2) уравнение стороны АС; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины В; 4) длину этой высоты; 5) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 6) площадь треугольника. Сделать чертеж.

	А		В	С
1	2;	2	1; 4	-2; 0
2	3;	1	2; 0	4;	5
3	-4; 1		-2; 3	3;	1
4	0;	4	-2; 1	3; -2
5	1;	2	3; 4	5;	1
6	-1;	-2	2; 0	4;	0
7	-4; 5		1; 4	3;	7
8	5;	1	0; 5	-4;	-2
9	1;	6	-2; 4	3;	3
10	3;	0	-3; 3	4;	7
11	5; -2		-1; 4	3; -6
12	1;	4	1; -4	-3; 2
13	2;	2	-2; 3	3; -4
14	1;	1	4; 3	2; -3
15	-1; 5		3; 4	1;	3
16	1;4		-4; 1	2; -3

	А		В		С
17	3;	6	-1; 2		3; 0
18	-1;	-5	2;	4	-4; 5
19	1;	5	-2; 7		-3; 0
20	0;	6	3; -1		-2; 4
21	2;	1	3;	8	-1; 3
22	-2; 4		0; -3		1; 1
23	3; -1		2;	5	2; -1
24	0;	0	4;	3	2; -4
25	1;	1	-1;	-3	5; 1
26	-2; 1		3;	3	1; -4
27	3;	5	-1; 1		2; -3
28	4;	5	-1; 4		2; -4
29	-1;	-1	0;	3	7; 2
30	6;	1	3;	5	1; -3
31	2;	2	-4; 1		5; -4
32	-1;	-1	6; -2		3; -2

Задание 8. Составить уравнение линии (и затем сделать чертеж), для каждой точки которой:

1)расстояние от точки А(3;3) равно расстоянию от прямой y = −2 ;

2)расстояние от точки А(-1;0) вдвое меньше, чем от прямой x = −4 ;

3)расстояния от окружностей (x +10)2 + y2 = 289 и (x −10)2 + y2 =1

равны;

4)расстояния от начала координат и от точки А(5;0) относятся как

2:1;

5)сумма квадратов расстояний до начала координат и до точки

A(−a;0) равна a 2 ;

6) расстояния от окружностей (x +3)2 + y2 =1 и (x −3)2 + y2 = 81 равны;

7)расстояние от точки А(-1;0) вдвое меньше расстояния от прямой x = −4 ;

8)сумма квадратов расстояний до точек A(−a;0), B(0;a), C(a,0) равна

3a2 ;

9)модуль разности расстояний до точек А(-5;0) и В(5;0) равен 6;

10)расстояния от точки А(2;0) и от прямой 5x +8 = 0 относятся как

5:4;

11)модуль разности расстояний до точек А(-2;2) и B(2;2) равен 4;

12)сумма расстояний до точек А(-3;0) и В(3;0) равна 10;

13)расстояние от точки А(4;0) вдвое больше, чем от точки В(1;0);

14)расстояния от точки А(0;2) и от оси ОХ равны;

15)расстояние от точки А(0;9) втрое больше, чем от точки В(0;1);

16)расстояния от точки А(2;0) и от прямой 2x +5 = 0 относятся как

4:5;

17)расстояние от точки А(0;-1) вдвое меньше, чем от точки В(0;4);

18)расстояние от точки А(-1;-1) вдвое меньше, чем от точки В(-4;4);

19)расстояние от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки

В(26;0);

20)расстояние от точки А(4;0) вдвое больше, чем от прямой x =1;

21)расстояние от прямой x = −2 вдвое меньше, чем от точки А(-8;0);

22)расстояния от точки А(0;2) и от прямой y −4 = 0 равны;

23)сумма расстояний до точек А(2;0) и В(-2;0) равна 2 5 ;

24)расстояния от оси ординат и от окружности x2 + y2 = 4x равны;

25)расстояния от точки А(-4;0) и от прямой 4x +25 = 0 относятся как

4:5;

26)расстояния от точки А(4;0) и от оси ОY равны;

27)расстояния от точки А(2;6) и от прямой y +2 = 0 равны;

28)расстояние от точки А(-4;0) втрое больше, чем от начала координат;

29)расстояние от оси ОХ вдвое больше, чем от оси OY;

30)расстояния от прямой x +2 = 0 и от окружности x2 + y2 = 4x рав-

ны;

31)расстояния от точки А(-5;0) и от прямой 5x +16 = 0 относятся как

4:5;

32)расстояние от точки А(2;2) равно расстоянию от прямой y = 8 .

Задание 9. Дано уравнение F(x, y, z)= 0 . Требуется: 1) доказать, что оно является уравнением сферы; 2) найти координаты центра и ради-

ус сферы; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и ось ОХ; 4) составить уравнение прямой, проходящей через центр сферы и начало координат.

1.x2 + y2 + z2 −2x + 4 y −2z −3 = 0;

2.x2 + y2 + z2 + 2x −6 y + 4z −2 = 0;

3.x2 + y2 + z2 −4x −6 y + 2z −11 = 0;

4.x2 + y2 + z2 −2x + 2 y + 4z −43 = 0;

5.x2 + y2 + z2 −2x + 4 y −6z +5 = 0;

6.x2 + y2 + z2 −8x −6 y + 2z +1 = 0;

7.x2 + y2 + z2 + 2x −4 y +10z −6 = 0;

8.x2 + y2 + z2 −10x +8y −23 = 0;

9.x2 + y2 + z2 +6x −8y −6z −15 = 0;

10.x2 + y2 + z2 + 24x + +2z + 24 = 0;

11.x2 + y2 + z2 +12x − 4 y + 6z = 0;

12.x2 + y2 + z2 −6x −2 y −14z +10 = 0;

13.x2 + y2 + z2 −10x +8y +8z −43 = 0;

14.x2 + y2 + z2 + 4x −2 y −2z −10 = 0;

15.x2 + y2 + z2 + 2x −20 y −20 = 0;

16.x2 + y2 + z2 +16x −16 y −6z +9 = 0;

17.x2 + y2 + z2 +6x −2 y +6z −6 = 0;

18.x2 + y2 + z2 −10x +8y +6z −50 = 0;

19.x2 + y2 + z2 + 2x −18y + 4z −14 = 0;

20.x2 + y2 + z2 −4x +12 y + 2z −23 = 0;

21.x2 + y2 + z2 + 2x + 2 y −14z + 2 = 0;

22.x2 + y2 + z2 + 4x −8y −10z −36 = 0;

23.x2 + y 2 + z 2 −6x +16z −8 = 0;

24.x2 + y2 + z2 + 2x + 4 y −16z +5 = 0;

25.x2 + y2 + z2 + 20z −21 = 0;

26.x2 + y2 + z2 +12x −6 y + 2z +30 = 0;

27.x2 + y2 + z2 −6x +6 y −4z −14 = 0;

28.x2 + y2 + z2 + 2x +14 y + 4z −46 = 0;

29.x2 + y2 + z2 −8x +8y +12z + 4 = 0;

30.x2 + y2 + z2 +10x −12 y −20 = 0;

31.x2 + y2 + z2 −4x −2 y +10z −19 = 0;

32.x2 + y2 + z2 + 2x −6 y + 4z −11 = 0;

Задание 10. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, изобразить фигуры, определяемые следующими соотношениями:

9x2 + 25y2 −225 ≤ 0, 1) 3x +5y −15 ≤ 0,

y + 2 ≥ 0;

2) 5x2 −9 y2 −30x +18y −9 = 0;

x2 + 4 y2 −16 ≥ 0, 3) y +3 ≥ 0,

x + y −2 ≤ 0;

4) 16x2 −25y2 +32x −100 y +84 = 0;

5)	x2 −4 y2 −4 ≥ 0,

	4x +3y −12 ≤ 0;
6) y = −1 + 2		x2 −4x +5;
	3

7)2x − y −6 ≤ 0,3x + y +12 ≥ 0;

8)x = 9 −2 y2 + 4 y +8;

y2 −10x ≤ 0,

9)5x −3y −15 ≤ 0,

y −2 ≤ 0;

10)5x2 −6 y2 +10x −12 y −31 = 0;2 −16 y2 +144 ≥ 0,

	x2						+			y		2			≤1,
17)
		25							16
		25							16
			y			> 4;


18)	x2 +6 y2 −6x +12 y +13 = 0;
	x2						+			y		2			≤1,


19)		4							9
19)		4			x2				9				y2
					x2								y2
	−								+								≤1;
	−					4			+					9			≤1;
						4								9
20)	4x2 − y2 +8x −2 y +3 = 0;
21)				2		− y					2			>1,
21)	x					− y								>1,
			x			≥1;

22)	x2 + y2 −2x + 4 y +5 = 0;
	R2							< x2 + y 2 < 4R2
23)										R			2
	x2						>			R						;
	x2						>				4					;
											4
24)	x	2			−			1		y		2			− x −			3	y −1 = 0;
24)	x				−		4			y					− x −			2	y −1 = 0;
							4											2

x2 − y2 > a2 , 25)

x2 < 4a2 ;

26) 2x2 −8x + 4 y +9 = 0;

x2 −8y ≤ 0,

11)2x +3y +6 ≤ 0,x + 2 ≥ 0;

12)	x =1 −			4		−6x − x2 ;
				3
	x2		−	y2	≤1,
13)
		4		9
		4		9

	−2 ≤ y ≤ 2;
14)	2x2 +3y2 +8x −6 y +11 = 0;
		(x −1)2			+		( y +1)2	<1,
15)
			4			9
			4			9
				< 2;
	0 < x			< 2;
16)	9x2 −16 y2 −54x −64 y −127 = 0;

27)xy > a2 ,

x + y < 4a;

28)x2 −4 y2 +6x +5 = 0;

2x < y2 + 4 y,

x2 + y2 + 4x + 4 y < 0;

30)x = −2 + −5 −6 y − y2 ;

x2 + 4 y2 −16 ≥ 0,

31)x + 2 y −8 ≤ 0,x + y −2 ≥ 0;

32)x2 −6x −4 y +5 = 0;

Решение типового варианта.

Задание 1. Найти значение многочлена f (x) от матрицы A :

f (x)= 3x2 −4,							2		−1
f (x)= 3x2 −4,						A =					.
							3			0
							3			0		Решение.
f (A)= 3A2 −4E , где E												Решение.
f (A)= 3A2 −4E , где E										2	- единичная матрица размера 2х2, т.е.
			1	0		2				2
E			1	0
E	2	=			.
	2		0	1
			0	1			2			−1 2 −1 1						− 2		3 −6
Так как				A2	= A A =		2			−1 2 −1 1						− 2	3A2	3 −6		,
Так как				A2	= A A =										=	,	3A2	=		,
												3 0							−9
								3 0				3 0		6		−3		18	−9
то f (A)				= 3A2 −4E2						3	−6			4 0 −1			−6
то f (A)				= 3A2 −4E2			=						−			=		.
																	−13
								18 −				9		0 4 18			−13

Задание 2. Решить систему уравнений матричным методом, с помощью правила Крамера и методом Гаусса.

Решение.

а) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX = B ,

	2	−1 −1			x		0
	−1	4	−3		1
где A =	−1	4	−3	,	X = x2	, B = 11 .
	3	1	2		x		1
					3

Тогда решение системы в матричной форме имеет вид: X = A−1B.

Найдем обратную матрицу A−1. Она существует, так как det A =16 ≠ 0.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы.

A	=		4				−3		=11,					A			= −			−1			−3		= −7,					A			=		−1			4		= −13,
A	=		4				−3		=11,					A			= −			−1			−3		= −7,					A			=		−1			4		= −13,
11			1					2						12						3			2						13						3			1
			1					2												3			2												3			1
A = −						−1 1					= 3, A =								2 1			=1, A = −									2 −1						= −5,
A = −						−1 1					= 3, A =								2 1			=1, A = −									2 −1						= −5,
21						1		2							22				3		2					23					3			1
						1		2											3		2										3			1
A =				−1 1							= −1, A = −										2			1			= 5, A =									2 −1						= 7.
A =				−1 1							= −1, A = −										2			1			= 5, A =									2 −1						= 7.
31					4 −3											32					−1 −3								33							−1 4
														1			A11				A21				A31				1			11							3 −1
Следовательно, A−1 =														1			A				A				A			=	1				−	7				1				5	.
Следовательно, A−1 =																	A				A				A			=					−	7				1				5	.
																		12			22					32
													det A A								A				A				16				−13					−5				7
Тогда решение системы																		13			23					33
Тогда решение системы
x1		1					11					3 −1 0											1		0 33 −1													1				32		2
X = x	=	1						−7				1				5		11 =					1			0 11							5			=		1				16	=	1 .
X = x	=							−7				1				5		11 =								0 11							5			=						16	=	1 .
2		16
x		16						−13			−			5 7				1					16			0		−55 7										16			−48			−3
3
Итак, x1 = 2,							x2 =1,							x3 = −3.
б) Решим систему с помощью правила Крамера. Имеем
										= det A =								2			−1			−1
																		2			−1			−1
																		−1			4			−3			=16 ≠ 0.
																		3			1			2

Последовательно заменив в первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим:

			0		−1	1			= 32, x			1 =		32
			0		−1	1
1	=		11		4	−3				=							= 2,
	=		11		4	−3				=							= 2,
								1					16
			1		1	2							16
			1		1	2
				2	0	1			=16, x			2			16
				2	0	1
2		=		−1	11	−3					=		=					=1,
		=		−1	11	−3					=		=					=1,
									2				16
				3	1	2							16
				3	1	2
		2			−1	0	= −48, x					3				−48
		2			−1	0
3	=	−1			4	11					=		=						= −3.
	=	−1			4	11					=		=						= −3.
							3						16
		3			1	11							16
		3			1	11

в) Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее.

2		−1 1			0			−1 4		−3	11	−1 4		−3	11
2		−1 1			0			−1 4		−3	11	−1 4		−3	11
	−1 4			−3					2 −1 1		0		0 7	−5	22	~ (3)
	−1 4			−3	11 ~ (1)				2 −1 1		0	~ (2)	0 7	−5	22	~ (3)
	3 1			2					3 1	2	1		0 13	−7	34
	3 1			2		1			3 1	2	1		0 13	−7	34
	−1		4	−3			11
	−1		4	−3			11
		0	7	−5			22
~		0	7	−5			22	.
		0	0	16			− 48
		0	0	16			− 48

Комментарии:

(1)– поменяем местами первую и вторую строку;

(2)– умножим первую строку на 2 и прибавим ее ко второй, умножим первую строку на 3 и прибавим ее к третьей строке;

(3)– умножим вторую строку на (-13) и прибавим ее к третьей строке, умноженной на 7.

Система уравнений приведена к треугольному виду

− x		+ 4x	−3x =11
	1	2	3
		7x2	−5x3 = 22 . Из последнего уравнения находим x3 = −3.
			16x3 = −48
			16x3 = −48

Подставляя это значение x3 во второе уравнение, находим из него x2 = 17 (22 +5x3 )= 17 (22 −15)=1. Подставляя x2 и x3 в первое уравне-

ние, получаем x1 = −11 + 4x2 −3x3 = −11 + 4 +9 = 2.

Ответ: x1 = 2, x2 =1, x3 = −3.

Задание 3. Даны векторы a(1,3,−2), b (−2,−5,6), c(1,1,−1), d (−1,−6,6) в

некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение.

Покажем, что векторы a , b , c некомпланарны, а значит, образуют базис трехмерного пространства R3 . Найдем смешанное произведе-

ние этих векторов:

			1	3	−2

a		c =	−2	−5	6	= 5 +18 + 4 +10 −6 −6 = 25.
	b
			1	1	−1

Так как ab c ≠ 0 , то векторы некомпланарны. Запишем разложение вектора d по базису a , b , c :

d = x1a + x2b + x3c .

Подставляя в это равенство координаты заданных векторов, прихо-

	x1 −2x2 + x3 = −1
дим к системе линейных уравнений	3x1	−5x2 + x3 = −6 , которую
	−2x	+6x	− x = 6
	1	2	3

решаем методом Гаусса.

1	−2	1	−1	1

3 −5		1	−6	~ 0
−2 6 −1			6 0
x1 −2x2 + x3 = −1
откуда	x2 −2x3 = −3
		5x3 =10

−2 1 2

x3x2x1

1	−1 1		−2 1		−1
1	−1 1		−2 1		−1
−2	−3	~ 0	1	−2	−3 ,
1	4	0	0	5	10

=−3 + 2x3 = −3 + 4 =1

=−1 − x3 + 2x2 = −1 −2 + 2 = −1.

Следовательно, d = −1 a +1 b +2 c.

Задание 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если a = 2 p −q, b = 3 p + 2q, p =1, q = 2,

(p, ^ q )= π4.

Решение.

Из геометрического смысла векторного произведения следует, что площадь параллелограмма вычисляется по формуле S = a ×b . Используя свойства векторного произведения, получаем:

S =

a ×

(2 p − q )×(3 p + 2q )

6 p × p −3q × p + 4 p ×q − 2q ×q

−3q × p + 4 p ×q

3 p ×q + 4 p ×q

7 p ×q

= 7

p ×q

= 7

sin(p, ^ q )= 7 1 2

2 = 7 2.

Задание 5. Даны две

3x + 4 y − z −4 = 0

плоскости

x −2 y +5z −8 = 0 . Найти: 1) косинусы углов между ними; 2) канони-

ческие уравнения прямой, по которой они пересекаются.

Решение.

1) Если плоскость задана общим уравнением Ax + By +Cz + D = 0, то
упорядоченная тройка (A, B,C) определяет так называемый, нормаль-
ный вектор плоскости	nr	(т.е. вектор, перпендикулярный к плоско-
сти).			3x + 4 y − z −4 = 0	и
Пусть даны	две	плоскости

x −2 y +5z −8 = 0 . Один из углов ϕ1 , образуемых этими плоскостями, равен углу между их нормальными векторами n1(3,4,−1), n2 (1,−2,5), а второй угол ϕ2 = π−ϕ1 . Поэтому косинусы углов ϕ между данными плоскостями определяются по формуле:

cosϕ = ±

A1A2 + B1B2 +C1C2

+C2 .

+ B2

+C2

+ B2

В нашем примере имеем:

cos ϕ = ±

3 1 + 4 (− 2)+ (−1) 5

+52

= ±

−10

= ±

32 + 42 + (−1)2

12 + (− 2)2

26 30

195

= ±

≈ ±0,358.

195

2) Каноническими называют уравнения прямой вида

x − x0

y − y0

z − z0

где ( x0 , y0 , z0 ) - координаты некоторой точки, лежащей на прямой, а (l, m, p) - координаты направляющего вектора прямой (т.е. вектора, параллельного данной прямой).

Шаг 1. Найдем точку, лежащую на линии пересечения заданных

3x + 4 y − z −4 = 0

плоскостей. Для этого в системе x −2 y +5z −8 = 0 положим, напри-

3x + 4 y −4 = 0

мер, z = 0 . Тогда система примет вид: x −2 y −8 = 0 . Умножив вто-

рое уравнение на 2 и сложив его с первым, приходим к уравнению

5x −20 = 0,				откуда x = 4 .		Из уравнения			x −2 y −8 = 0 находим
y =	x −8	=	4 −8		−2 . Итак, x	= 4, y	= −2, z	0	= 0.

2				2	0	0

Шаг 2. Найдем направляющий вектор искомой прямой. Так как каждый из нормальных векторов n1 (A1 , B1C1 ) и n2 (A2 , B2C2 ) перпендику-

лярен к искомой прямой, то их векторное произведение будет ей параллельно, т.е. за направляющий вектор искомой прямой можно взять

вектор s = n1 ×n2

В нашем примере

имеем:

s =

4 −1

3 −1

3 4

4 −1

−

k =

j +

−2 5

1 5

1 −2

= (20 −2)i −(15 +1)j +(−6 −4)k =18i −16 j −10k.

Шаг 3. Записываем требуемые канонические уравнения: x18−4 = y−+162 = z−−100 или x −9 4 = y−+82 = z−−50 .

Задание 6. Найти точку М′, симметричную точке М относительно плоскости x −2 y +3z −5 = 0 .

Решение.

Составим каноническое уравнение прямой ММ′. Так как эта прямая перпенди- n кулярна данной плоскости, то ее направляющий вектор и вектор нормали плос-

Nкости коллинеарны, а значит, в качестве

направляющего вектора можно взять вектор n(1,−2,3).

M’	20

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
15.04.2015457.86 Кб233353.pdf
#
15.04.2015729.81 Кб204015.pdf
#
15.04.2015587.09 Кб334020.pdf
#
15.04.201541.47 Кб12Вопросы_Черн_ЗО_1сем.doc
#
15.04.2015762.37 Кб18Задания_Чернич_ДО_ЗО_1сем.doc
#
15.04.20155.56 Mб27Пределы.pdf