Тогда 1(t)(n0 - n(t)) – величина, характеризующая число покупателей, ещё не информированных о рекламируемом товаре.

Предполагаем также, что узнавшие о товаре потребители тем или иным образом распространяют полученную информацию среди ещё не осведомленных, выступая как бы дополнительными добровольными рекламными «агентами» фирмы.

Их вклад будет равен величине 2(t) N(t)(N0 - N(t)) и тем больше, чем больше число агентов.

Здесь 2(t) > 0 характеризует степень общения покупателей между собой. Она может быть установлена, например, с помощью опросов.

Таким образом получим уравнение:

dN/dt = [ 1(t) + 2(t) N(t)] (N0 - N)) (1)

При 1(t) >> 2(t) N(t) из (1) получится модель типа модели Мальтуса:

dN(t)/dt = [ (t) + (t)] N(t) ,

а при 1(t) << 2(t) N(t) – уравнение логистической кривой:

dN/d = N(No-N),

где d=2(t)dt.

График логистической кривой имеет вид:

Полученная аналогия вполе понятна, так как при построении данной модели и модели роста численности популяции использовалась одна и та же идея «насыщения»: скорость роста со временем какой-либо величины пропорциональна произведению текущего значения этой величины N(t) на разностьN0 - N(t) между её равновесным (популяции) либо предельным (покупатели) и текушим значениями.

Аналогия междк обоими процессами заканчивается, если в какой-либо момент времени величина 1 + 2 N становится нулевой или даже отрицательной. Для этого необходимо, чтобы один или оба коэффициента1(t), 2(t) стали отрицательными.

Подобный негативный эффект довольно часто встречается в рекламных кампаниях различного рода и должен побудить их организаторов либо изменить характер рекламы, либо вовсе отказаться от дальнейшей пропаганды. Мероприятия по увеличинию популярности товара могут, в зависимсти от значений величин 1(t), 2(t), N(t),направляться на улучшение результатов как прямой (параметр1(t)), так и косвенной (параметр2(t)) рекламы.

Модель(1)лишена очевидного недостатка , присущего логическому уравнению. Действительно, оно не имеет решений, обращающихся в нуль в конечный момент времени (из соответствующей формулы для N(t)

следует,что N(t)0 при t).

Применительно к рекламе это означало бы, что часть покупателей ещё до начала кампании уже занет о новом товаре. Если же рассмотреть модель (1)в окрестности точкиN(t=0)=N(0)=0 (t=0 – момент начала кампании), считая, чтоN<< N0, 2(t) N << 1(t), то уравнение(1) принимает вид

dN/dt = 1(t)N0

и имеет решение (2)

удовлетворяющее естественносу начальному условию при t=0.

Из (2) относительно легко вывести соотношение между рекламными издержками и прибылью в самом начале кампании.

Считаем для простоты, что каждый покупатель приобретает лишь одну единицу товара.

Тогда по своему смыслу, коэффициент 1(t)-число равнозначных рекламных действий в единицу времени (например, расклейка афиш, звонок по телефону с оповещением абонента о появлении нового товара в продаже, объявление в газете(журнале), ролик на радио или телевидении).

Пусть p- величина прибыли от единичной продажи, какой бы она была без затрат на рекламу;

s-стоимость элементарного акта рекламы.

Тогда суммарная прибыль есть (3)

а произведенные затраты

Прибыль превосходит издержки при условииpNо > s , и если реклама действенна и недорога, а рынок достаточно емок,то выигрыш достигается с первых же моментов кампании.

При не слишком эффективной рекламе или слишком дорогой фирма на первых шагах несет убытки.

Однако это обстоятельство, вообще говоря, не может служить основанием для прекращения рекламы.

Действительно, выражение (3) и полученное с его помощью условиеpNо > s справедливы лишь при малых значенияхN(t),когда функцииPиSрастут со временем по одинаковым законам.

При увеличении N(t)отброшенные в частном случае уравнения(1)члены становятся заметными, в частности усиливается действие косвенной рекламы. Поэтому функцияN(t)может стать более “быстрой” функцией времени, чем в формуле(3). Этот нелинейный эффект в изменении величины N(t) при неизменном росте издержек дает возможность скомпенсировать финансовую неудачу начальной стадии кампании.

Поясним данное утверждение в частном случае уравнения (1) с постоянными коэффициентами 1(t), 2(t).

Заменой N’= 1(t)/ 2(t)+ N оно сводится к логистическому уравнению:

dN’/dt= 2N’(N0’-N’), N0’= 1(t)/ 2(t)+ N0, (4)

имеющему решение

-1

N’(t)= N0’[1+(N0’2/1-1)exp(-N0’2t)] (5)

При этом N’(0)= 1(t)/ 2(t ), так чтоN(0)=0, и начальное условие выполняется. Из(4)видно, что производная функции N'(t) и, следовательно, функцииN(t)может приt >0быть больше её начального значения (при условииN0’ = 21/ 2илиN0 = 1/ 2).

Максимум производной достигается при

N’=N0’/2, N=(1/ 2-N0)/2:

Вэтот период для текущей, т.е. получаемой в единицу времени прибыли имеем:

Вычитая из Pmначальную текущую прибыль

Получим

Т.е. разница между начальной и максимальной прибылью может быть весьма значительной. Суммарный экономический эффект от кампании( его необходимым условием является, очевидно, выполнение неравенства

определяется всем её ходом,х арактеристики которого вычисляются из (4),(5) с помощью квадратуры.

Как следует из(4), начиная с некоторого момента, продолжать рекламу становится невыгодно. Действительно, приN’(t),близких кN0', уравнение(4)записывается в виде(6):

Его решение стремится при t0 к предельному значению N’0 (а функцияN(t) – к N0) по медленному экспоненциальному закону. В единицу времени появляется ничтожно малое число новых покупателей, и поступающая прибыль при любых условиях не может покрыть продолжающихся издержек.

Рассмотрим теперь случай конкуренции двух компаний.

Предположим,что на рынке есть две компании, производящие аналогичный товар. Компании примерно в одно и тоже время начинают рекламные действия, «продвигают» товар на рынок. Они вступают в конкурентную борьбу за покупателя.

Пусть p- цена единицы рекламируемого товара.

Введем коэффициенты k1 – степень доверия к товару, предлагаемому первой фирмой.

Аналогично, k2 – степень доверия к товару, предлагаемому второй фирмой.

Зададим эти величины функциями, зависящими от параметра p, например, функциямиsinиcos. Тем самым мы учтём, что степень доверия к фирме изменяется вместе с ценой товара.

No – потенциальные клиенты обоих компаний.

N1,2(t) – число уже информированных о новинке клиентов первой и второй конкурирующих компаний.

Тогда, если число клиентов первой компании, которые под воздействием рекламы, покупают товар - N0 – N1,

то на долю второй компании останется - N0 – N1 - N2

По аналогии с предыдущими выводами об изменении со временем числа покупателей товара, предположим, что число покупателей (а соответственно и прибыль от продаж) N зависит от цены предлагаемого товара по закону:

dN1/dp = {[ 1 + 2 N1(p)] (N0 – N1)}k1

dN2/dp = {[ 1 + 2 N2(p)] (N0 – N1 - N2)}k2

Для произвольно выбранных величин 1, 2, 1, 2,k1(p),k2(p)при помощи функций и средствMatLabполучим:

Зависимость между числом покупателей первой и второй компаний:

Рассмотрев аналогичный случай для постоянных коэффициентов k1иk2, получим:

Логичен вывод о том, что в ситуации присутсвия на одном рынке двух фирм, рекламирующих один и тот же товар, увеличение числа клиентов одной из них влечет снижение числа покупателей товара второй фирмы, а из этого уже вытекает снижение прибыли фирмы. В нашем случае победителем остается первая фирма из-за большей степени доверия к качеству её товара.

Приложение 1: