Типовые задания, решения вариантов типовых заданий и литература

для самостоятельной подготовки к экзамену (зачету, тесту) по

математике, 3 семестр для студентов заочной (сокращенной) формы

обучения инженерно-технических специальностей

Раздел 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

1. Вычислить площадь плоской области , ограниченной данными линиями. Построить область .

1.1. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5.

2. Найти работу (циркуляцию) силы при перемещении вдоль линии (контура ) от точки к точке .

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

Раздел 2. Элементы теории поля

3. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля .

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5.

Раздел 3. Теория функций комплексной переменной

4. Вычислить

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5.

5. Вычислить интеграл, используя основную теорему теории вычетов. Построить контур интегрирования.

5.1. 5.2. 5.3.

5.4. 5.5.

6. Вычислить производную аналитической функции в точке

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5.

7. Вычислить.

7.1. 7.2. 7.3.7.4.7.5.

Раздел 4. Операционное исчисление

8. Решить задачу Коши операционным методом.

8.1. 8.2. 8.3.

8.4. 8.5.

9. Найти изображение для оригинала .

9.1.9.2.9.3.

9.4.9.5.

10. Восстановить оригинал по его изображению .

10.1. 10.2.

10.3. 10.4.

10.5.

Решение типовых заданий

Типовые задания 1–10 предназначены для студентов заочной (сокращенной)

формы обучения инженерно-технических специальностей.

При решении типовых заданий 1–10 студенты должны использовать методические пособия [1]–[8].

1. Вычислить площадь плоской области , ограниченной линиями

. Построить область .

Решение. Строим график функции (прямая). Находим: Строим график функции (парабола). Находим нули параболы: Так как , то ветви параболы направлены вверх (рис. 1). Находим точки пересечения графиков функций:

Тогда площадь плоской области вычисляется с помощью двойного интеграла, который выражается через повторный:

Рис.1.

2. Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями, .

Решение. Область интегрирования (рис. 2) ограничена сверху параболой , а снизу прямой . Пределы интегрирования и

определяются из системы уравнений:

Отсюда получаем уравнение:

или , которое имеет корни , . Таким образом, пределы интегриро-

вания , . Тогда площадь плоской области вычисляется с по-

мощью двойного интеграла, который выражается через повторный:

3. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .

Решение. Работа силы при перемещении вдоль линии от точки к точке находится по формуле

Так как на кривой , то причем точке от-

вечает значение , а точке отвечает значение . Тогда получим:

4. Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке .

Решение. Работа силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке находится по формуле

Запишем каноническое уравнение прямой , проходящей через точки и :

Отсюда следует параметрическое уравнение прямой :

Тогда получим:

5.Найти циркуляцию силы при перемещении вдоль контура

(обход по контуру происходит против часовой стрелки).

Решение. Циркуляция силы при перемещении вдоль контура

находится по формуле

Точки пересечения линий и находим из системы уравнений:

На кривой меняется от до , а на кривой

меняется от до . Тогда получим: