Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Задания_Черн_ЗПЭс_3сем.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
749.06 Кб
Скачать

6. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля

.

Решение. Векторное поле является потенциальным, если ротор поля равен нулю: . Ротор поля в базисе дается формулой:

Находим:

Следовательно,, а, значит, век-

торное поле не является потенциальным.

Векторное поле является соленоидальным, если дивергенция поля равна нулю: . Дивергенция поля в базисе дается формулой:

Находим:

Следовательно, , а, значит, векторное поле не

является соленоидальным.

7. Вычислить

Решение. Используя правила действия над комплексными числами, находим:

8. Вычислить интеграл , используя основную теорему теории

вычетов. Построить контур интегрирования.

Решение. Контуром интегрирования является окружность . Сравни-

вая общий вид уравнения окружности с , находим:

. В комплексной плоскости переменной строим окружность

(рис. 3). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-

теля: – полюсы первого порядка подынтег-

ральной функции. Точка попала внутрь области, ограниченной ок-

ружностью . Используя основную теорему теории вычетов и фор-

мулу для вычета в полюсе первого порядка, ,

находим:

9. Вычислить интеграл , используя основную теорему

теории вычетов. Построить контур интегрирования.

Решение. Контуром интегрирования является окружность .

Сравнивая общий вид уравнения окружности с , находим:

. В комплексной плоскости переменной строим окружность

(рис. 4). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-

теля:

полюсы второго порядка подынтегральной функции. Точка попала

внутрь области, ограниченной окружностью . Используя основную

теорему теории вычетов и формулу для вычета в полюсе порядка,

, находим:

10. Вычислить производную аналитической функции в точке

Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, на-

ходим:

11. Решить задачу Коши операционным методом.

Решение. Обозначим изображение Лапласа для оригинала через

Используя формулу для изображения производной и таблицу

изображений, находим:

Тогда, подставляя найденные выражения в исходное дифференциальное

уравнение, получим:

Коэффициенты и находим методом вычеркивания, а коэффициенты и

– общим методом:

Следовательно, для изображения получим выражение:

Отсюда, используя таблицу изображений, находим искомое решение:

12. Вычислить и

Решение. 1) Запишем комплексное число в показательной форме:

. Находим:

Тогда по правилу возведения комплексного числа в дробную степень получим:

Здесь использовали формулу Эйлера:

2) Запишем комплексное число в показательной форме:

. Находим:

Тогда по правилу возведения комплексного числа в целую степень получим:

Здесь также использовали формулу Эйлера: