- •Раздел 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
- •Раздел 2. Элементы теории поля
- •Раздел 3. Теория функций комплексной переменной
- •Вычислить.
- •Раздел 4. Операционное исчисление
- •Решение типовых заданий
- •6. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля
- •7. Вычислить
- •10. Вычислить производную аналитической функции в точке
- •11. Решить задачу Коши операционным методом.
- •13. Найти изображение для оригинала .
- •14. Восстановить оригинал по его изображению
- •Литература
6. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля
.
Решение. Векторное поле является потенциальным, если ротор поля равен нулю: . Ротор поля в базисе дается формулой:
Находим:
Следовательно,, а, значит, век-
торное поле не является потенциальным.
Векторное поле является соленоидальным, если дивергенция поля равна нулю: . Дивергенция поля в базисе дается формулой:
Находим:
Следовательно, , а, значит, векторное поле не
является соленоидальным.
7. Вычислить
Решение. Используя правила действия над комплексными числами, находим:
8. Вычислить интеграл , используя основную теорему теории
вычетов. Построить контур интегрирования.
Решение. Контуром интегрирования является окружность . Сравни-
вая общий вид уравнения окружности с , находим:
. В комплексной плоскости переменной строим окружность
(рис. 3). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-
теля: – полюсы первого порядка подынтег-
ральной функции. Точка попала внутрь области, ограниченной ок-
ружностью . Используя основную теорему теории вычетов и фор-
мулу для вычета в полюсе первого порядка, ,
находим:
9. Вычислить интеграл , используя основную теорему
теории вычетов. Построить контур интегрирования.
Решение. Контуром интегрирования является окружность .
Сравнивая общий вид уравнения окружности с , находим:
. В комплексной плоскости переменной строим окружность
(рис. 4). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-
теля:
–
полюсы второго порядка подынтегральной функции. Точка попала
внутрь области, ограниченной окружностью . Используя основную
теорему теории вычетов и формулу для вычета в полюсе порядка,
, находим:
10. Вычислить производную аналитической функции в точке
Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, на-
ходим:
11. Решить задачу Коши операционным методом.
Решение. Обозначим изображение Лапласа для оригинала через
Используя формулу для изображения производной и таблицу
изображений, находим:
Тогда, подставляя найденные выражения в исходное дифференциальное
уравнение, получим:
Коэффициенты и находим методом вычеркивания, а коэффициенты и
– общим методом:
Следовательно, для изображения получим выражение:
Отсюда, используя таблицу изображений, находим искомое решение:
12. Вычислить и
Решение. 1) Запишем комплексное число в показательной форме:
. Находим:
Тогда по правилу возведения комплексного числа в дробную степень получим:
Здесь использовали формулу Эйлера:
2) Запишем комплексное число в показательной форме:
. Находим:
Тогда по правилу возведения комплексного числа в целую степень получим:
Здесь также использовали формулу Эйлера: