1й семестр / 1_20 / 12
.DOCЦель работы: изучение динамики вращательного твёрдых тел; знакомство с методом крутильных колебаний, предназначенным для определение моментов инерции тел.
Приборы и принадлежности: прибор для определения крутильных колебаний – унифилярный подвес ФПМ05, снабженный набором твёрдых тел (грузов) и электронным миллисекундометром.
Элементы теории
Для начала запишем уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси:
-
где M – момент действия на тело сил, взятый относительно оси вращения; J – момент инерции тела вокруг оси вращения; - угловое ускорение тела.
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, численно равная произведению массы тачки на квадрат её расстояния от оси:
-
.
Для протяженных тел момент инерции равен сумме моментов инерции отдельных материальных точек (mi) на которые можно разбить данное тело:
-
.
Когда число элементарных масс стремиться к бесконечности, сума переходит в интеграл:
-
, где - плотность материала; V – объём тела.
В данной работе используется система представляющая собой твёрдое тело, подвешенное на струне, закреплённой с обеих сторон. После отклонения бруска на некоторый угол от положения равновесия и отпускания система начинает совершать свободные крутильные колебания.
Уравнения колебаний данной системы при малых углах отклонения можно записать так:
-
,
где r – коэффициент момента сил сопротивления, численно равный моменту сил сопротивления при угловой скорости (равной 1 рад/с); k – коэффициент возвращающего (упругого) момента, численно равный моменту упругих сил, возникающих при закручивании струны на угол, равный одному радиану.
При малом сопротивлении среды, в которую помещена колеблющаяся система, числовое значение r – пренебрежимо мало.
Предположив, что , уравнение (5) можно переписать следующим образом:
Данное дифференциальное уравнение, есть уравнение гармонических колебаний, и оно имеет решение вида:
где 0 – угловая амплитуда колебаний; - циклическая (круговая) частота; - начальная фаза колебаний.
Круговая частота и период колебаний T находятся через величины J и k по формулам:
8)
После снятия показаний с установки можно вычислить период колебаний:
где t – время колебаний; N – число колебаний.
Время N полных колебаний системы можно найти так:
-
где J0 – момент инерции пустой рамки.
Затем измеряем t0 – время N полных колебаний ненагруженной рамки, tэ – время N полных колебаний рамки с грузом. Тело с известным моментом инерции называют эталонным телом.
Зависимость измеряемых времён от соответствующих моментов инерции задаётся системой уравнений:
10)
Исключив из этой системы неизвестные величины J0 и k получим формулу для неизвестного момента инерции тела (J):
11)
Из данного выражения следует формула для предельной относительной погрешности определяемого момента инерции:
1
при
t>tэ при
tэ>t
где - относительная погрешность момента инерции эталонного тела; t – погрешность измерения полного времени N колебаний рамки (предположительно эта погрешность одинакова для всех трёх измерений: t0, t и tэ).
Для упрощения расчётов формулу (11) можно преобразовать в следующее выражение:
13) .
Вычисления моментов инерции тела можно производить и по формуле следующего вида:
14) , но только при выполнении условия приблизительного равенства значений времени t и tэ:
15) ;
Расчётная часть
№ опыта |
1 |
2 |
3 |
, с |
to, с |
12,661 |
12,660 |
12,663 |
12,661 |
t1, с |
15,172 |
15,197 |
15,221 |
15,197 |
t2, с |
18,060 |
18,049 |
18,070 |
18,060 |
tэ, с |
18,201 |
18,391 |
18,393 |
18,328 |
N = 20 После проведения опытов имеем значения следующих величин:
(Куб) …………… m1 = 0,950 кг. a = 50,010-3 м. (ребро куба).
(Параллелепипед) m2 = 1,850 кг. h = 100,310-3 м. b = 610-2 м. a = 410-2 м. (длина, ширина, высота).
(Цилиндр) ……… mэ = 1,708 кг. R = 31,510-3 м. h = 70,210-3 м. (радиус, высота)
Используя формулу (12) вычислим относительные погрешности моментов инерции для каждого тела. Для этого, по соответствующим формулам, найдём момент инерции эталонного тела (Jэ), абсолютную (Jэ) и относительную (EJэ) погрешности вычисления данной величины, а тек же погрешность измерения полного времени N колебаний (t).
кгм2.
Вычислим Jэ по формуле нахождения абсолютной погрешности измерения косвенной величины.
где т. к. измерения радиуса эталонного тела проводились штангенциркулем - с = 0,02 мм. = 2 10-5 м; k = 1,1.
кгм2.
Найдём погрешность измерения полного времени N колебаний (t).
При n = 3, tс = 4,30; c = 10-3 с.
с. с.
с. с.
с.
По следующей формуле подсчитаем относительную погрешность момента инерции эталонного тела.
Для 1-ого тела найдём относительную погрешность момента инерции. Будем использовать выражение (12) в следующем виде т. к. tэ > t1 (как значение t1 (и в дальнейших вычислениях ti ) берётся значение (и )):
Относительная погрешность момента инерции для 2-ого тела:
при tэ > t2.
Теперь, оценив соотношение (15), подсчитаем значение моментов инерции для 1-ого и 2-ого тел.
Для нахождения значения момента инерции 1-ого тела надо использовать формулу (13) т. к.
кгм2.
Для нахождения значения момента инерции 2-ого тела надо использовать формулу (15) т. к.
кгм2.
Далее, по формуле Ji = Ji EJi, найдём погрешность для соответствующих моментов инерции тел.
J1 = J1 EJ1; J1 = 4,1810-4 7,7710-2 = 3,2510-5 кгм2.
J2 = J2 EJ2; J2 = 410-2 8,0710-4 = 3,2310-5 кгм2.
Итого, практические значения моментов инерции данных тел таковы:
J1 = 41,810-5 3,2510-5 кгм2.
J2 = 80,710-5 3,2310-5 кгм2.
Найдём теоретические значения тех же величин.
Так, как оба исследуемых тела представляют собой параллелограммы, то их моменты инерции можно найти по следующим формулам:
кгм2. т. к. 1-ое тело является кубом.
кгм2. т. к. стороны основания 1-ого тела не равны.
Вычислим абсолютные погрешности данных величин:
где т. к. измерение стороны основания данного тела проводилось штангенциркулем - с = 0,02 мм. = 2 10-5 м; k = 1,1.
кгм2.
учитывая, что измерения сторон основания данного тела проводились штангенциркулем.
= 2,8310-7 кгм2.
Выпишем, теоретические значения моментов инерции данных тел таковы:
J1 = 4,210-4 0,0019710-4 кгм2.
J2 = 8,0210-4 0,0028310-4 кгм2.
-