2.5 Принцип неопределенности для частотно-временного представления сигнала.

На примере прямоугольного импульса покажем справедливость принципа неопределенности , состоящего в том, что невозможно одновременно локализовать импульс во времени и усилить его избирательность по частоте.

Согласно 5), ширина прямоугольного импульса во временной области DT равна 2Т. За ширину образа Фурье прямоугольного импульса примем расстояние между соседними нулями центрального горба в частотной области. Первые нули функции

имеем при .

Таким образом получаем

(8)

. Таким образом, чем более импульс локализован во времени, тем сильнее размазан его спектр. Обратно, чтобы сократить спектр, мы вынуждены растягивать импульс во времени. Этот принцип справедлив при любой форме импульса и носит универсальный характер.

2.6 Свертка и ее свойства.

Свертка-основная процедура при фильтрации сигнала.

Назовем функцию h(t) сверткой непериодических функций f(t) и h(t), если она определяется как следующий интеграл:

(9)

Символически будем обозначать этот факт как .

Операция свертки обладает следующими свойствами.

1. Коммутативность.

(10)

Доказательство коммутативности можно получить путем замены переменной t-t=t’

2. Ассоциативность

(11)

Доказательство:

Введя новую переменную t-t=p, далее меняя порядок интегрирования и делая замену переменной s-t+p=h, получим:

3. Дистрибутивность

(12)

Доказательство этого свойства непосредственно следует из линейных свойств интегралов.

Для обработки сигналов наиболее важным в методе Фурье (после формул преобразования Фурье) являются теоремы о свертке. Будем использовать частоту n вместо w, т.к. теоремы о свертке в этом представлении будут иметь взаимообратимый характер.

2.7 Теоремы о свертке

Первая теорема о свертке.

Преобразование Фурье прямого произведения функций равно свертке преобразований

~ (13)

Доказательство:

Пусть , тогда . Используя определение обратного преобразования Фурье и меняя порядок интегрирования, получим:

В терминах угловой частоты w эта теорема имеет менее универсальный вид

~ (13а)

Вторая теорема о свертке.

Преобразование Фурье свертки функций равно прямому произведению преобразований.

~ (14)

Доказательство:

Для примера рассмотрим свертку прямоугольного импульса

По определению свертки нужно посчитать значение интеграла

.

По условию f(t)=0 при t<-T и при t>T. Аналогично, f(t-t)=0 при

t-t<-T и при t-t>T, т.е. при t>t+T и при t<t-T. Поэтому при вычислении свертки бесконечные пределы можно заменить на конечные: нижний равен минимальному из двух значений (t-T) и -T, верхний равен минимальному из двух значений (t-T) и T. Рассуждая таким образом,получим

при 0<t<2T

при -2T<t<0

Объединяя оба случая, получим выражение для свертки:

Таким образом, сверткой прямоугольного импульса самого с собой будет треугольный импульс ( иногда эту функцию называют L-функцией).

Пользуясь теоремой о свертке , можно легко получить преобразование Фурье L-функции

~ (15)

На практике физическим ситуациям соответствуют функции, равные нулю при t<0.Это приводит к тому , что бесконечные пределы заменяются конечными.

Пример:

Найти свертку функций f(t) и g(t)

Решение:

т.к. f(t)=0 при t<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. при t>t.

Введем понятие взаимной корреляции двух функций f(t) и g(t).

(16)

где t- временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в промежутке (-¥,¥).

Важным понятием является корреляция функции с самой собой, которая носит название автокорреляции.

(17)