2.7. Интегральный признак Коши

Если функция и(монотонно убывает) при всех, то рядсходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл.

Пример 2.7.1. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда Дирихле.

Решение. Рядом Дирихле называется ряд вида . Так какпри всехи, то исследуем сходимость по интегральному признаку сходимости. Вычисляем

Отсюда

Соответственно,

Ответ: ряд

Ряд Дирихле сходится, еслии расходится, если.

Пример 2.7.2. Исследовать сходимость гармонического ряда .

Решение. Гармонический ряд - это частный случай ряда Дирихлес. Поэтому ряд расходится.

Ответ: расходится.

Пример 2.7.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд - это частный случай ряда Дирихлес. Поэтому ряд сходится.

Ответ: сходится.

2.8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда

Теорема Лейбница. Если идля всех, то знакочередующийся ряд

сходится. При этом для всех - модуль-ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.

Пример 2.8.1. Проверить выполнение условий теоремы Лейбница для ряда . В случае положительного ответа оценить.

Решение. Вычисляем . Кроме того, последовательностьмонотонно убывает. Следовательно, все предположения теоремы Лейбница выполнены. Поэтому справедлива оценка остатка ряда по модулю

.

Ответ: удовлетворяет предположениям теоремы Лейбница..

2.9. Условная сходимость. Признак Абеля - Дирихле

Абсолютная сходимость числового ряда. Если ряд из модулей сходится, то исходный рядназывается абсолютно сходящимся.

Условная сходимость числового ряда. Если ряд сходится, а ряд из модулейрасходится, то исходный рядназывается условно сходящимся.

Пример 2.9.1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для исследования абсолютной сходимости рассмотрим ряд . Как известно (пример 2.7.2), гармонический рядрасходится. Поэтому у исходного ряда нет абсолютной сходимости. Однако как показано в примере 2.8.1 исходный ряд удовлетворяет предположениям теоремы Лейбница. Поэтому рядсходится.

Ответ: сходится условно.

Для проверки условной сходимости, помимо признака Лейбница, применяются также следующий признак:

Признак Абеля - Дирихле. Пусть дан ряд , в котором последовательностьмонотонно стремится к, а последовательность частичных суммрядаравномерно ограничена, тогда ряд- сходится.

Пример 2.9.2. Для произвольно заданного вещественного числа доказать равномерную ограниченность последовательности частичных суммряда.

Решение. Заметим, что . Поэтому для частичной суммы имеет место равенство

.

Как показано в примере 2.1.1 для частичной суммы геометрической прогрессии (независимо от знаменателя) справедливо равенство:

.

Поэтому

.Следовательно,

. Отсюда

при всех .

Ответ: .

Пример 2.9.3. Для произвольно заданного вещественного числа доказать равномерную ограниченность последовательности частичных суммряда.

Решение. Заметим, что . Поэтому для частичной суммы имеет место равенство

.

Также как в примере 2.9.2 запишем частичную сумму геометрической прогрессии по формуле:

.

Отсюда

.Следовательно,

. Отсюда

при всех .

Ответ: .

Пример 2.9.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как показано в примере 2.4.1 ряд расходится. Поэтому расходится ряд.

Отсюда нет абсолютной сходимости у ряда . Исследуем условную сходимость по признаку Абеля - Дирихле. Как показано в примере 2.9.2, частичные суммы рядаравномерно ограничены числом. Кроме того, последовательностьмонотонно стремится к. Следовательно, рядсходится по признаку Абеля - Дирихле.

Ответ: сходится условно.

22