Спецразделы / МП / srma3

2.10. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса

Сходящийся в области функциональный ряд называется равномерно сходящимся в этой области, если для  любого найдется число такое, что для остатка функционального ряда при всех и  одновременно имеет место оценка .

Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд сходится области и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что для всех и для всех , начиная с некоторого номера, члены ряда удовлетворяют условию . Тогда ряд сходится абсолютно и равномерно в области .

Пример 2.10.1. Исследовать абсолютную и равномерную сходимость по признаку Вейерштрасса .

Решение. При ряд сходится. Поэтому, без ограничения общности можно предполагать, что . Тогда сходимость ряда равносильна сходимости ряда .

Так как

, то при или достигается минимум для знаменателя, а, следовательно, максимум для дроби. Поэтому

.

Ряд сходится как ряд Дирихле с показателем степени . Отсюда исходный ряд сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса при всех значениях переменной.

Ответ: сходится абсолютно и равномерно при всех .

2.11. Степенные ряды

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для всех , таких, что , причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге . Если же ряд расходится в точке , то он расходится и для всех таких, что .

Замечание. а) Из теоремы Абеля следует существование круга сходимости.

б) Из признака Вейерштрасса следует: если степенной ряд абсолютно сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

Пример 2.11.1. Найти область абсолютной сходимости и область равномерной сходимости ряда .

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид

.

Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем

.

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это гармонический ряд , который, как известно, расходится. Поэтому по теореме Абеля ряд равномерно сходится . Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ.

Ответ: абсолютно сходится, равномерно сходится.

Пример 2.11.2. Найти область абсолютной сходимости и область равномерной сходимости ряда .

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид

.

Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем

.

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это сходящийся ряд Дирихле . Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится . Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ.

Ответ: абсолютно и равномерно сходится.

2.12. Ряды Маклорена

Разложения основных элементарных функций:

, ; , ; , ; , ; , ;, .

Замечание. Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, можно найти разложение некоторых функций по степеням .

Пример 2.12.1. Используя разложение , а также возможность почленного интегрирования степенных рядов, разложить функцию по степеням и указать область сходимости полученного ряда.

Решение. Как известно, . Поэтому

, следовательно,

.

Отсюда

.

Область сходимости для полученного ряда как и для разложения в ряд - вся комплексная плоскость, т.е. .

Ответ: , .

Вопросы для самопроверки

1)Выписать формулу извлечение целого корня.

2)Выписать формулу Эйлера.

3)Перечислить основные элементарные функции комплексной переменной.

4)Сформулировать условия Коши-Римана.

5)Какая функция называется аналитической? Дать определение гармонической функции.

6)Что называется суммой числового ряда? Какой ряд называется сходящимся? Сформулировать необходимое условие сходимости ряда.

7) Какой ряд называется условно сходящимся?

8)Сформулировать признаки сравнения рядов с положительными членами.

9)Сформулировать признак Даламбера абсолютной сходимости.

10)Сформулировать предельный признак Коши абсолютной сходимости рядов.

11)Сформулировать интегральный признак Коши. Какие ряды называются рядами Дирихле?

12)Сформулировать признак Лейбница.

13)Сформулировать признак Абеля - Дирихле.

14) Дать определение равномерной сходимости функционального ряда.

15) Выписать ряды Маклорена для функций , , , , .

7