Глава 2. Ряды

2.1. Сумма числового ряда. Сходимость

Конечные суммы называются частичными суммами ряда

. (2.1.1)

Числовой ряд (2.1.1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм . Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда.

Пример 2.1.1. Исследовать сходимость геометрической прогрессии:

.

Решение. Пусть обозначает-ую частичную сумму геометрической прогрессии, т.е..

Следовательно, .

Отсюда и для частичной суммы геометрической прогрессии справедливо равенство:

.

Находим

Из определения сходящегося ряда следует, что геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда и ее сумма, в этом случае, равна.

Ответ:

Пример 2.1.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный ряд - геометрическая прогрессия, знаменатель которой

.

Следовательно, как следует из примера (2.1.1) сходится.

Ответ: сходится.

2.2. Необходимое условие сходимости ряда

Если сходится, то.

Пример 2.2.1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для применения необходимого условия сходимости преобразуем модуль .

Отсюда по второму замечательному пределу

.

Поэтому не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

2.3. Первый признак сравнения

Пусть ,и в числовом ряду (2.1.1). Тогда

1. если ряд сходится, то сходится и ряд;

2. если же расходится ряд , то расходится и ряд.

Пример 2.3.1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как показано в примере (2.1.2) ряд сходится. Кроме того, имеет место неравенствопри всех. Так как исследуемый ряд “меньше” сходящегося ряда, то он также сходится.

Ответ: сходится.

2.4. Предельный признак сравнения

Пусть ,и,. Тогда рядыиравносильны относительно сходимости.

Пример 2.4.1. Пусть произвольно задано. Исследовать по предельному признаку сходимость ряда.

Решение. Как известно, гармонический ряд расходится. Поэтому по предельному признаку сравнения расходится ряд, так как

.

Ответ: расходится.

2.5. Признак Даламбера абсолютной сходимости

Пусть - ряд с положительными членами >0 и , тогда

1. в случае рядсходится,

2. в случае ряд расходится и не выполнено необходимое условие сходимости,

3. в случае ничего сказать нельзя.

Пример 2.5.1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Исследуем сходимость по признаку Даламбера, а именно, найдем

.

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: сходится.

2.6. Признак Коши абсолютной сходимости рядов

Признак Коши (радикальный). Пусть — ряд с неотрицательными членамии, тогда

1) в случае рядсходится,

2) в случае ряд расходится и не выполнено необходимое условие сходимости,

3) в случае вопрос остается открытым.

Пример 2.6.1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для применения признака Коши преобразуем модуль

.

Отсюда

.

Поэтому по признаку Коши ряд сходится абсолютно.

Ответ: сходится абсолютно.

Пример 2.6.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для применения признака Коши преобразуем модуль

.

Отсюда

.

Поэтому по признаку Коши не выполнено необходимое условие сходимости, а, следовательно, ряд расходится.

Ответ: расходится.