1.4. Аналитические функции

Функция называетсяаналитической функцией в области , если онадифференцируемая во всех точках и еепроизводная непрерывна в этой области .

Действительная и мнимая части аналитической функции – гармонические функции, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа , .

Пример 1.4.1. Проверить гармоничность функции и в случае положительного ответа восстановить аналитическую функцию по данной ее действительной части.

Решение. Вычисляем частные производные функции :;

;

; ;

Преобразуем

.

Таким образом,

.

Функция - гармоническая всюду, за исключением точкии является действительной частью аналитической функции.

Из условий Коши - Римана (1.3.1) восстановим мнимую часть:

.

Поэтому

.

С другой стороны,

.

Отсюда

и ,.

Имеем

.

Полагая в последнем равенстве ,,, восстанавливаем функцию

.

Ответ: - гармоническая всюду, за исключением точкии является действительной частью функции, аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением.

1.5. Интеграл от функции комплексной переменной

Пусть дуга направленной кусочно-гладкой кривой задана параметрическим уравнением. Пусть- начальная точка и- конечная точка дуги. Тогда

.

Пример 1.5.1. Вычислить , где- отрезок прямой от точкидо точки.

Решение. Параметрическое задание отрезка: с. Отсюда,.

.

Ответ: .

Пример 1.5.2. Вычислить , где- любое целое число.

Решение. Поскольку дуга – это окружность, целесообразно следующее параметрическое задание ,.

Поэтому

Так как , то окончательно получим

Ответ:

Замечание. Значение интеграла не зависит от.

Если функция является аналитической в области, где расположена дуга, то существует первообразнаяфункции, т.е.. В этом случае справедливаформула Ньютона - Лейбница

, где ,- начальная и конечная точки дуги соответственно.

Пример 1.5.3. Вычислить , где- отрезок прямой от точкидо точки.

Решение. Функция является аналитической функцией с первообразной. Поэтому воспользуемся формулой Ньютона -Лейбница

.

Ответ: .

Теорема Коши для односвязной области. Если - аналитическая функция в односвязной области, а- замкнутый контур в, то.

Пример 1.5.4. Вычислить .

Решение. Заметим, что функция - аналитическая на всей комплексной плоскости. Поэтому в силу теоремы Коши для односвязной области этот интеграл равен нулю.

Ответ: .

Интегральная формула Коши для односвязной области

Пусть - аналитическая функция в односвязной области. Пусть точка,- простой замкнутый контур в, охватывающий точку. Тогда

.

Пример 1.5.5. Вычислить интеграл .

Решение. Функция - аналитическая на всей комплексной плоскости. Поэтому по интегральной формуле Коши интеграл равен.

Ответ: .