Семестр I

Глава 1. Основные понятия теории функций комплексной переменной

1. 1. Комплексные числа

Модуль комплексного числа находится по формуле.-действительная часть, -мнимая часть. Для нахождения аргумента (обозначение) рекомендуется поставить в соответствие комплексному числу в декартовой системе координат на плоскости точку с координатами,(см. рис. 1.1.1). Отсюда

Рис. 1.1.1.

- тригонометрическая форма, -показательная форма и формула извлечения целого корня:

. (1.1.1)

Таким образом, корень - ой степени имеетразличных значений, которые получаются подстановкой

Пример 1.1.1. Найти все значения корня .

Решение. Находим модуль и аргумент комплексного числа :;. По формуле (1.1.1)

;;;.

Рис. 1.1.2.

Ответ: ;;;(см. рис. 1.1.2).

С

Рис. 1.1.3.

делаем важное замечание о том, что комплексные числа нельзя сравнивать. Действительно, два радиус-вектора, соответствующих изображению комплексных чисел на плоскости, можно только сравнить по длине, т.е.комплексные числа сравнимы по модулю.

Пример 1.1.2. Изобразить на плоскости множество точек , для которых справедливо неравенство.

Решение. Вычисляем модули: ,. Следовательно, комплексные числаудовлетворяют неравенству:. Строим окружности с центром в точкеи радиусамии, соответственно. Множество точек, удовлетворяющих неравенству, изображается в виде кольца (см. рис. 1.1.3).

1.2. Основные элементарные функции комплексной переменной

1) Показательная функция (формула Эйлера) .

2) Тригонометрические функции

.

3) Гиперболические функции

, ,,.

Заметим, что

, ,,.

4) Логарифмическая функция ;

Главное значение (главная ветвь) .

5) Степенная функция ;

Главная ветвь .

6) Показательная функция

Главная ветвь .

7) Обратные тригонометрические функции

; ;;;

(Ареасинус) ; (Ареакосинус); (Ареатангенс) ; (Ареакотангенс) .

Замечание. Функция комплексной переменнойсама является многозначной функцией. Выбор ветви многозначной функцииздесь производится из условия, чтобы рассматриваемая функцияявлялась аналитическим продолжением соответствующей функции действительной переменной. Из последнего условия следует, что должно быть взято то значение корня, которое положительно при положительных действительных значениях подкоренного выражения.

Пример 1.2.1. Найти аналитическое выражение для функции .

Решение. По определению обратной тригонометрической функции равенстворавносильно равенству. Отсюда. Полагая в последнем равенстве, получим квадратное уравнение. Выбираем одно решение этого уравнения (см. замечание)

. Следовательно, и

. Так как , то.

Ответ:.

1. 3. Условия Коши - Римана

Функция дифференцируема в точке , если существует предел

(). Указанный предел называетсяпроизводной функции в точке и обозначается.

Если функция дифференцируема в точке , то существуют частные производные , , ,, причем они связаныусловиями Коши - Римана:

; . (1.3.1)

Обратно: Если в точке функцииидифференцируемы как функции двух вещественных переменных,и первые частные производные этих функций в точкесвязаны условиями Коши - Римана, то дифференцируемая функция в точке .

Пример 1.3.1. Выяснить, в каких точках дифференцируема функция .

Решение. В функцию подставим. Получим

.

Следовательно, ,в представлении.

Проверим условия Коши - Римана. Имеем ,,,. Из формулы (1.3.1) следует, что условия Коши – Римана выполнены в одной точке. Так как функции,дифференцируемы в точке, то функциядифференцируема в единственной точке.

Ответ: функция дифференцируема в единственной точке.