Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математический анализ

Файл:

srma1

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2013

Размер:

461.82 Кб

Скачать

☆

Семестр I

Глава 1. Основные понятия теории функций комплексной переменной

1. 1. Комплексные числа

Модуль комплексного числа находится по формуле . - действительная часть, - мнимая часть. Для нахождения аргумента (обозначение ) рекомендуется поставить в соответствие комплексному числу в декартовой системе координат на плоскости точку с координатами , (см. рис. 1.1.1). Отсюда

Рис. 1.1.1.

- тригонометрическая форма, - показательная форма и формула извлечения целого корня:

. (1.1.1)

Таким образом, корень - ой степени имеет различных значений, которые получаются подстановкой

Пример 1.1.1. Найти все значения корня .

Решение. Находим модуль и аргумент комплексного числа : ; . По формуле (1.1.1)

;;;.

Рис. 1.1.2.

Ответ:

;

(см. рис. 1.1.2).

Рис. 1.1.3.

делаем важное замечание о том, что комплексные числа нельзя сравнивать. Действительно, два радиус-вектора, соответствующих изображению комплексных чисел на плоскости, можно только сравнить по длине, т.е. комплексные числа сравнимы по модулю.

Пример 1.1.2. Изобразить на плоскости множество точек , для которых справедливо неравенство .

Решение. Вычисляем модули: , . Следовательно, комплексные числа удовлетворяют неравенству: . Строим окружности с центром в точке и радиусами и , соответственно. Множество точек , удовлетворяющих неравенству , изображается в виде кольца (см. рис. 1.1.3).

1.2. Основные элементарные функции комплексной переменной

1) Показательная функция (формула Эйлера) .

2) Тригонометрические функции

3) Гиперболические функции

, , , .

Заметим, что

, , , .

4) Логарифмическая функция ;

Главное значение (главная ветвь) .

5) Степенная функция ;

Главная ветвь .

6) Показательная функция

Главная ветвь .

7) Обратные тригонометрические функции

; ; ; ;

(Ареасинус) ; (Ареакосинус) ; (Ареатангенс) ; (Ареакотангенс) .

Замечание. Функция комплексной переменной сама является многозначной функцией. Выбор ветви многозначной функции здесь производится из условия, чтобы рассматриваемая функция являлась аналитическим продолжением соответствующей функции действительной переменной. Из последнего условия следует, что должно быть взято то значение корня, которое положительно при положительных действительных значениях подкоренного выражения.

Пример 1.2.1. Найти аналитическое выражение для функции .

Решение. По определению обратной тригонометрической функции равенство равносильно равенству. Отсюда . Полагая в последнем равенстве , получим квадратное уравнение . Выбираем одно решение этого уравнения (см. замечание)

. Следовательно, и

. Так как , то .

Ответ:.

1. 3. Условия Коши - Римана

Функция дифференцируема в точке , если существует предел

(). Указанный предел называется производной функции в точке и обозначается .

Если функция дифференцируема в точке , то существуют частные производные , , , , причем они связаны условиями Коши - Римана:

; . (1.3.1)

Обратно: Если в точке функции и дифференцируемы как функции двух вещественных переменных , и первые частные производные этих функций в точке связаны условиями Коши - Римана, то дифференцируемая функция в точке .

Пример 1.3.1. Выяснить, в каких точках дифференцируема функция .

Решение. В функцию подставим . Получим

Следовательно, , в представлении .

Проверим условия Коши - Римана. Имеем , , , . Из формулы (1.3.1) следует, что условия Коши – Римана выполнены в одной точке . Так как функции , дифференцируемы в точке , то функция дифференцируема в единственной точке .

Ответ: функция дифференцируема в единственной точке .

1.4. Аналитические функции

Функция называется аналитической функцией в области , если она дифференцируемая во всех точках и ее производная непрерывна в этой области .

Действительная и мнимая части аналитической функции – гармонические функции, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа , .

Пример 1.4.1. Проверить гармоничность функции и в случае положительного ответа восстановить аналитическую функцию по данной ее действительной части.

Решение. Вычисляем частные производные функции : ;

;

; ;

Преобразуем

Таким образом,

Функция - гармоническая всюду, за исключением точки и является действительной частью аналитической функции.

Из условий Коши - Римана (1.3.1) восстановим мнимую часть:

Поэтому

С другой стороны,

Отсюда

и , .

Имеем

Полагая в последнем равенстве , , , восстанавливаем функцию

Ответ: - гармоническая всюду, за исключением точки и является действительной частью функции , аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением .

1.5. Интеграл от функции комплексной переменной

Пусть дуга направленной кусочно-гладкой кривой задана параметрическим уравнением . Пусть - начальная точка и - конечная точка дуги. Тогда

Пример 1.5.1. Вычислить , где - отрезок прямой от точки до точки .

Решение. Параметрическое задание отрезка: с . Отсюда , .

Ответ: .

Пример 1.5.2. Вычислить , где - любое целое число.

Решение. Поскольку дуга – это окружность, целесообразно следующее параметрическое задание , .

Поэтому

Так как , то окончательно получим

Ответ:

Замечание. Значение интеграла не зависит от .

Если функция является аналитической в области, где расположена дуга , то существует первообразная функции, т.е.. В этом случае справедлива формула Ньютона - Лейбница

, где , - начальная и конечная точки дуги соответственно.

Пример 1.5.3. Вычислить , где - отрезок прямой от точки до точки .

Решение. Функция является аналитической функцией с первообразной . Поэтому воспользуемся формулой Ньютона -Лейбница

Ответ: .

Теорема Коши для односвязной области. Если - аналитическая функция в односвязной области , а - замкнутый контур в , то .

Пример 1.5.4. Вычислить .

Решение. Заметим, что функция - аналитическая на всей комплексной плоскости. Поэтому в силу теоремы Коши для односвязной области этот интеграл равен нулю.