Используя условия к-р в декартовых координатах, имеем

Выражаем частные производные в декартовых координатах

Запишем выражение для производной в полярных координатах

3) f(z)=R(x,y)e^i(x,y) :

R_x=R_y, R_y=-R_x

4) Сумма и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля.

5) Если w=f(z)C^(g) и (область ее значений G) и

= (w)C^(G), то сложная функция F(z)=[f(z)]C^(g) -аналитическая функция комплексной переменной z в области g.

6) Пусть w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)C^(g) и f '(z₀)0, z₀g. Тогда в окрестности точки w₀=f(z₀) определена обратная аналитическая функция z=(w)C^(|w-w₀|<), отображающая эту окрестность на окрестность точки z₀, причем '(w₀)=1/.

Доказательство. u=u(x,y), v=v(x,y)

=u_xv_y-u_yv_x=u_x²+v_x²=|f'(z₀) ²|0.

(якобиан преобразования отличен от нуля).

z=(w); .

7) Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана гармоническая функция u(x,y) и известно, что она является действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Доказательство. По известной функции u(x,y) определяем ее частные производные. Из условий Коши-Римана получим дифференциальные уравнения для мнимой части, из которых она находится с точностью до аддитивной постоянной. 

Аналогично по известной мнимой части можно определить реальную часть аналитической функции.

8) Линии уровня действительной и мнимой части аналитической функции ортогональны в любой точке.

Доказательство. Ортогональность кривых линий  ортогональность их нормалей. Нормаль к линии уровня – градиент функции.

grad u=(u_x,u_y), grad v=(v_x,v_y),

Составим скалярное произведение (grad u, grad v)=u_xv_x+ u_yv_y=- u_y v_y+ u_y v_y=0.

§5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости. 1. Вспомогательные положения.

1. Кусочно-гладкая кривая-

{z: z=z(t)=x(t)+iy(t), где t [a,b]}

x(t), y(t)  C[a,b]; x'(t), y'(t) -кусочно- непрерывные на [a,b]; x'²(t)+y'²(t) 0 - нет точек возврата, нет самопересечений.

Если x(a)=x(b), y(a)=y(b), то кривая замкнута.

z₀, z₁,…, z_n – точки разбиения кривой C

z_i=z_i-z_i-1

- частичная сумма

- произвольная точка i-ой дуги.

Определение. Если при существует предел частичных сумм, не зависящий ни от способа разбиения кривойC, ни от выбора точек , то этот предел называется иинтегралом от функции комплексной переменной f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по кривой C

.

f(z) z = [u(x,y)+iv(x,y)] (x+iy)= ux-vy +i [ vx+uy]

.

Действительная и мнимая части есть интегральные суммы криволинейных действительных интегралов второго рода

и .

Замечания. 1) Достаточное условие существования криволинейных интегралов второго рода, а тем самым и интеграла по комплексной переменной, является кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|. => Интеграл по комплексной переменной существует и для неаналитической функции.

2) +i. Это соотношение иногда принимают за определение интеграла по комплексной переменной.