Сложение двух комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов на плоскости. При этом выполнено: Неравенство треугольника

z₁+z₂z₁+z₂.

В частности a+iba+b

z₁-z₂ - расстояние между z₁ и z₂ на комплексной плоскости.

Простейшие множества точек на комплексной плоскости.

а) |z-z₀|=a (a>0) - окружность с центром в точке z₀ радиуса a;

б) |z-z₀|<a (a>0) - открытый круг с центром в точке z₀ радиуса a;

в) |z-z₀|>a (a>0) - внешность открытого круг с центром в точке z₀ радиуса a;

г) a<|z-z₀ |<b (0<a<b) - открытое кольцо с центром в точке z₀;

д) arg(z-z₀)=  - луч, с началом в точке z₀ , идущий под углом  к положительному направлению действительной оси.

е)  <arg(z-z₀)< - внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке z₀ и углом раствора  -.

ж) Re z= a - прямая, || мнимой оси, проходящая через точку (a,0);

з) Im z= b - прямая, || действительной оси, проходящая через точку (0,b);

При умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются (растяжение или сжатие), а аргументы складываются (поворот на плоскости).

z₁=a₁+i b₁=_e^i; z₂=a₂+i b₂=₂e^i;

z₁z₂=₁₂e^{i( + )} => |z₁z₂|=|z₁||z₂|; arg(z₁ z₂)=arg z₁+ arg z₂ .

При делении двух комплексных чисел их модули делятся (модуль знаменателя  0), а аргументы вычитаются

z₁/z₂=(₁/₂)e^{i( - )}=> |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|; arg(z₁/z₂)=arg z₁- arg z₂ .

Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоваться при операциях сложения и вычитания, а показательной- при умножении, делении, возведении в целую степень, извлечении целого корня (возведение в рациональную степень).

Возведение в целую степень.

zⁿ=[(cos +i sin)]ⁿ=[ e^i ]ⁿ =ⁿe^in= ⁿ(cos(n)+i sin(n));

Мы вывели

Формулу Муавра: (cos +i sin )ⁿ = cos(n )+i sin(n ).

Пример: (1+i)³=(2^1/2 e^{i /4})³=2^3/2 e^{i3 /4}=2^3/2(cos(3 /4)+i sin(3 /4))=-2+2i.

Извлечение целого корня (возведение в рациональную степень).

z ⁿ = e^i=  e^{i( +2 k)} , k=0, 1, 2... .

z = ^1/n e^{i( +2 k)/n} .

=> корень n-ой степени имеет n различных значений, которые получаются при k=0, 1, 2...,n-1.

Пример: =1 e^{i(0+2 k)/4}=

2. Последовательности комплексных чисел.

Определение. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел {z_n}

Определение. Комплексное число z называется пределом последовательности {z_n}, если для   >0  N( ): z_n-z < для  n> N.

{z_n} z; z_n=z.

Примеры.

а) z/n=0;

б) arg[(-1)ⁿ/n] не ,

arg[(-1)ⁿ/n]=0 при четных n,

arg[(-1)ⁿ/n]= при нечетных n.

Задание комплексной последовательности z_n=a_n+ib_n : {z_n}={a_n}+i{b_n}- одновременное задание двух действительных последовательностей.

Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием {z_n} z= a+ib является требование {a_n} a; {b_n} b.

Доказательство. Необходимость.

>0  N( ): z_n-z< для  n >N 

a_n-az_n-z<,b_n-bz_n-z <  {a_n} a, {b_n} b.

Достаточность.

 >0  N₁( ): a_n-a < /2 для  n>N₁,

 N₂(): b_n-b< /2 для  n>N₂ 

 N=max{N₁,N₂}: z_n-za_n-a+b_n-b< для  n> N. 

Определение. Последовательность {z_n} называется ограниченной, если  AReal:  n z_n<A.

Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 1.2. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

{z_n} ограничена => {a_n} и {b_n} также ограничены

a_n,b_na_n+i b_n =(a_n²+b_n²)^1/2=z_n <A для  n.

a_n<A  {a_nk} a: a <A. По теореме Больцано-Вейерштрасса.

Последовательности {a_nk } соответствует {b_nk}:

b_nk<A {b_nl} b, причем {a_nl} a 

{z_nl} z=a+ib: z<A. 

Критерий Коши. Необходимым и достаточным условием сходимости {z_n} z является требование, чтобы для   >0  N(): z_n+m-z_n< для  n>N и  m>0.

Доказательство.

Необходимость.

{z_n} z (z_n= a_n+ib_n ) {a_n} a и {b_n} b 

  >0 и  m>0  N₁():a_n+m-a_n</2 для  n>N₁()

и N₂():b_n+m-b_n</2 для  n>N₂().

 N()= max{N₁,N₂}: z_n+m-z_n< для  n>N()

Достаточность. z_n+m-z_n< для  n>N()  a_n+m-a_n, b_n+m-b_nz_n+m-z_n<{a_n} a и {b_n} b 

Неограниченно возрастающие последовательности.

Определение. Если для  A>0  N(A): z_n>A для  n>N(A), то последовательность {z_n} называется неограниченно возрастающей.

Примеры. а) z_n=zⁿ при |z|>1; б) z_n= i n.

В обычном смысле неограниченные последовательности не сходятся, но оказывается удобным считать, что существует единственная бесконечно удаленная точка комплексной плоскости. Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к этой единственной точке

z_n= z_ =.

{_n=1/z_n}0

1/ z_ =0, 1/0= , z= ( z0), z+ = , z/ =0 (z. Операции 0/0 и / являются неопределенными.