§15. Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом назовем ряд вида c_n(z-z₀)ⁿ, z₀ -центр, c_n - коэффициенты - заданные комплексные числа. При z= z₀ ряд очевидно сходится. Это может быть единственная точка сходимости n!zⁿ, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zⁿ/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов c_n.

1. Теорема Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд c_n(z-z₀)ⁿ сходится в точке z₁ z₀ , то он абсолютно сходится и при z: |z-z₀|<|z₁-z₀ |, причем в замкнутом круге

|z-z₀|<|z₁-z₀| сходится равномерно. Доказательство. Выберем произвольную точку z: |z-z₀|<|z₁-z₀|. В силу необходимого условия сходимости ряда A>0 : для n |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<A

 |c_n|<A/|z₁-z₀|ⁿ  |c_n(z-z₀)ⁿ|<A|(z-z₀)/(z₁-z₀)|ⁿ .

Но |(z-z₀)/(z₁-z₀)|=q<1  |c_n(z-z₀)ⁿ|<Aqⁿ  ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией  сходится абсолютно.

При |z-z₀|  <|z₁-z₀| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |c_n(z-z₀)ⁿ|  A|/(z₁-z₀)|ⁿ < Aqⁿ , q<1 

Следствия теоремы Абеля. 1. Если степенной ряд расходится в точке z₂ z₀ , то он расходится и при z: |z-z₀|>|z₂-z₀ |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в круге радиуса <|z-z₀ |, в частности и в точке z₂, что противоречит условию.). 2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z₁-z₀ |=R для z₁, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точки z₀ до точек z₁, в которых сходится ряд c_n(z-z₀)ⁿ .

Если R, то для z₂: |z₂-z₀|>R ряд расходится.  R=inf|z₂-z₀ |=R для z₂ , где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z₀|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0 - радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы |z-z₀|=R может как сходиться, так и расходиться.

3.Формула Коши-Адамара.

R=1/L, L=

Доказательство.

Применяем радикальный признак Коши

Пусть сначала 0<L<,

Тогда ряд сходится при

Если L=0, то

т.о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

Если L=, то

т.о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т.о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т.е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

4. В круге |z-z₀|<R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)C^(|z-z₀|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!

6. c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)  c₀=f(z₀), c_n+1(n+1)(z-z₀)ⁿ=f '(z)  c₁=f '(z₀)… c_n+k(n+k)!(z-z₀)ⁿ=f^(k)(z)  c_k=f^(k)(z₀)/k!

7. Пример. :c_n=1  R=1.

S_n=[1-(z-z₀)ⁿ⁺¹]/[1-(z-z₀)]; |z-z₀ |<1

=1/[1-(z-z₀)].  =1/[1-(z-z₀)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования

1. по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга сходимости нет, т.к. модуль членов ряда не убывает ни для каких z.

2. по формуле Коши-Адамара R=1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (z=-1 ), а в других расходится (z=1 ),.

3. по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга ряд сходится, т.к. мажорируется сходящимся .

9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)

Итак c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)C^(|z-z₀|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает

2. Теорема Тейлора.

Теорема Тейлора. Если f(z)C^(|z-z₀|<R), то степенной ряд

c_n(z-z₀)ⁿ =>f(z) при |z-z₀|<R.

Доказательство. Возьмем z: |z-z₀|<R и построим C_ - окружность радиуса  с центром в точке z₀ и содержащую точку z внутри: для C_: | -z₀|=, <R, |-z₀|>|z-z₀|.

Т.к. f(z)C^(|z-z₀|< ), то по интегральной формуле Коши;

Преобразуем подынтегральное выражение

Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь |z-z₀|/|-z₀|<1.  C_ ряд сходится равномерно по так как мажорируется сходящимся числовым рядом

f(z)=;

c_n==f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!, что и доказывает и единственность разложения. 

 Замечания 1) Разложение функции f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ называют разложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши c_n= , где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точкуz₀, целиком лежащий в области аналитичности функции.

Пример.

; …



.

3. Ряды Тейлора элементарных функций.

1. (Воспользоваться   k C_k=1/k!)

2. (Воспользоваться )

3. (Воспользоваться )

4. , (Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

5. (Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии , ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

(Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена су§22. Единственность определения аналитической функции.

1. Понятие правильной точки.

Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.

Точка z₀g называется правильной точкой функции f(z), заданной в g, если  в круге |z-z₀|<(z₀), где (z₀)>0 - радиус сходимости степенного ряда.

Все остальные точки zg- особые точки функции f(z), заданной в g.

Замечание. Если f(z)C^ (g), то все zg- правильные точки f(z). Если f(z) задана в , то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми.

2. Нули аналитической функции.

Определение. Пусть f(z)C^(g); f(z₀)=0, z₀g, тогда z₀ - нуль аналитической функции.   С₀ =0. В этом случае

Если C₁=…= C_n-1 =0, а C_n0, то z₀ - нуль n-того порядка. В этом случае

Заметим, что в нуле n-того порядка f(z₀) = f ' (z₀)=… = f^(n-1)(z₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(z₀)0 и f(z)=(z-z₀)ⁿf₁(z), где f₁(z₀) 0.

Если C_n=0 n, то f(z)0.

Примеры.

1. Точка z=0 - нуль первого порядка.

2. Точка z=0 - нуль второго порядка.

3. Точка - ноль третьего порядка

4. Точка - ноль второго порядка

Теорема о нулях аналитической функции.

2. Пусть f(z)C^(g) и  : (z_iz_k , все z_ng и f(z_n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) ag (z_n=ag). Тогда f(z)0, для zg ммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии , ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

6. 



 k

В частности, при =0.5

Доказательство.

Т.к. ag, то причем радиус сходимости этого степенного ряда R₀ не меньше расстояния от a до g

f(z)C^(g)=> по непрерывности f(a)=0 => С₀=0, т.о.

Новая функция f₁(z) отличается от исходной одним множителем (z-a) => имеет те же нули, что иf(z). По непрерывности f₁(a)=0 => С₁=0.

Продолжая в том же духе, получим C_n=0 n. Это означает, что f(z)0 z: |z-a|<R₀

_­Докажем, что f(z₁)0, для z₁g.

Соединим z1 и a кусочно-гладкой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от ее границы g на расстояние d>0.

Поскольку z: |z-a|<R₀ можно рассматривать, как предел последовательности нулей f(z), то в качестве нового центра разложения можем выбрать точку z=a₁ – точку пересечения кривой L с окружностью |z-a|=R_0­. Проведя аналогичные рассуждения, получим, что f(z)0 z: |z-a₁|<R₁, где R₁d. Продолжая рассуждать подобным образом, покроем всю кривую L кругами, внутри которых f(z)0. При этом точка z₁ попадет внутрь последнего круга и тем самым f(z₁)= 0.

Следствие. f(z)C^(g) внутри любой замкнутой подобласти может иметь лишь конечное число нулей, иначе .

Пример. sin (1/z) )C^(g/0) имеет в конечной замкнутой области бесконечное число нулей {z_n=1/n}0. Что не противоречит теореме, т.к. в z=0 нарушается аналитичность.