§13. Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.
Докажем некоторые достаточные признаки сходимости рядов.
Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм
Такое преобразование частичных сумм называется преобразованием Абеля. С его помощью докажем неравенство Абеля.
Лемма
(неравенство
Абеля).
Если
и
,
то
.
Доказательство.
Т.к.
Важно, что оценка дается модулем первого и последнего члена и не зависит от числа слагаемых.
Замечание.
Доказательство проходит и в случае
.
Т.е. можно потребовать просто монотонности
.
Признак
Дирихле.
Пусть дан ряд
:
последовательность {an}
– монотонно стремится к 0, а последовательность
частичных сумм{Bn}
ряда
- ограничена, тогда ряд
- сходится.
Доказательство.
N():
n>
N()
Теперь применяем неравенство Абеля
.
Согласно
критерию Коши ряд
сходится.
__________________
Докажем,
что частичные суммы
и
ограничены при
(при
первая сумма равна 0, а вторая не
ограничена).
Действительно
Сумма
первых n членов
геометрической последовательности с
первым членом
и знаменателем
есть
Действительная
и мнимая части этого выражения не
превосходят
.
Примеры.
. Последовательность
{1/n}
– монотонно стремится к нулю. А
последовательность
- ограничена
по признаку Дирихле исходный ряд
сходится.
3.
Признак
Абеля. Если
последовательность {an}
монотонна и ограничена, а ряд
сходится, то ряд из произведений
также сходится.
Доказательство.
М:
Выберем
произвольное .
Из сходимости
N():
n>
N()p>0
.
Тогда согласно неравенству Абеля
Согласно
критерию Коши ряд
сходится.
____________________________________________
Пример.
Ряд
сходится по признаку Дирихле. А
последовательность
ограничена и монотонна
по признаку Абеля исходный ряд сходится.
§14. Ряды аналитических функций.
1.
Понятие функционального ряда.
Пусть
дана последовательность {u
k(z)}
функций, z
g. Выражение
-
называетсяфункциональным
рядом,
заданным в g.
Определение.Если
при z
g, соответствующий числовой ряд сходится
к определенному комплексному числу
f(z),
то в g определена функция, которая
называется суммой
функционального ряда,
а сам ряд называется сходящимся
в g.
rn(z)=f(z)-
-n-ый остаток
ряда
Если ряд сходится в g, то
>0 N(,z): | rn(z)| <для n > N(, z).
Пример.
- знакочередующийся
ряд, сходится и признаку Лейбница,
остаток ряда не превышает модуля
следующего слагаемого
Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши: для >0 N( ,z): | Sn+m(z)-Sn(z)| <для n > N и m>0. Вообще говоря, в каждой точке z g N свое: N=N( ,z) и общего N для всей z может и не существовать.
2. Равномерная сходимость uk(z) в области g. Определение. Если для >0 N() : | rn(z)| <для n >N() и z одновременно, то ряд uk(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g. Обозначение: uk(z)=>f(z).
Критерий Коши (необходимое и достаточное условие равномерной сходимости).
Если для >0 N( ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <для n > N и m>0 и z одновременно, то ряд uk(z)=>f(z). Доказательство. Необходимость.
Пусть
uk(z)=>f(z)
>0
N():
|f(z)-Sn(z)|
<
/2 для n>N()
и zg
=> и |f(z)-Sn+m(z)|
<
/2 =>
=>| Sn+m(z)-Sn(z)|
<для
n>N
и m>0
и zg.
Достаточность.
Пусть для >0
N(
): | Sn+m(z)-Sn(z)|
<
для n>N
и m>0
и zg
=>
сходится вzg,
т.о. в g определена f(z)=
.
для n>N() и zg => |rn(z)| <для n>N() и zg.
Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости). Если |uk(z)|<ak, ak>0 для k>N и zg и ak сходится, то uk(z)=>f(z) в g. Доказательство.
ak
сходится
=> >0
N():
<
для n>N()
для n>N() и zg.
Примеры.
(оценить
сверху значением функции в ее максимуме)
(оценить
сверху значением функции
в ее максимуме
)
(
)
3.
Свойства равномерно сходящихся
рядов.
Свойства
равномерно сходящихся рядов:
Теорема
14.1.
(непрерывность
суммы) Пусть
uk(z)С(g)
и uk(z)=>f(z),
тогда f(z)С(g).
Доказательство.
uk(z)=>f(z) одновременно выполнены неравенства
|f(z+z)-Sn(z+z)|< /3 и |f(z)-Sn(z)|< /3 для >0.
uk(z)С(g) для >0 и N >0:
при |z|<
|f|=|f(z+z)-f(z)|
|f(z+z)-Sn(z+z)|+|Sn(z+z)-Sn(z)|+|Sn(z)-f(z)|
/3+/3+/3=для |z|< , n>N.
Примеры
Ряд из непрерывных
функций сходится к разрывной функции,
значит сходимость неравномерная
аналогично
Теорема
14.2. (возможность
почленного интегрирования).
Пусть uk(z)С(g)
и uk(z)=>f(z),
кусочно- гладкий контур g
конечной длины L. Тогда
.
Доказательство
uk(z)=>f(z)
для >0 N(): | rn(z) |</L для n>N()
=
<
=
Замечание. Эти два свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами совершенно аналогичны свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами.
Примеры.
Найти
,
если
Является ли непрерывной функция
Теорема
Вейерштрасса.
Если uk(z)C(g)
и uk(z)=>f(z)
в любой
замкнутой подобласти области g то:
f(z)C(g).
,
для zg.
z 
.
Доказательство
1. Рассмотрим произвольную z0g
и построим односвязную
:z0
,
в силуТеоремы 14.1
f(z)С(g).
Рассмотрим
произвольный контур 
.
ПоТеореме 14.2
.
Т.о.
для f(z)
выполнены все условия Теоремы
Морера
f(z)C(
).
В силу произвольности
f(z)C(g).
Замечание. Т.к. rn(z)=f(z)-Sn(z) rn(z) C(g).
2.
Рассмотрим произвольную z0g
и произвольный контур g.
Обозначим
.
для
z,
т.к.
По Теореме 14.2 это равенство можно проинтегрировать почленно
По Теореме 8.1.
.
В силу произвольности z0 утверждение 2 доказано.
Замечание.
rn(p)(z)=f(p)(z)-Sn(p)(z)=
.
3.
Рассмотрим 
и
- замкнутый контур:
g
и z
и
|z-|d>0.
rn(z)
C(g)
дляz
.
uk(z)=>f(z)
>0
N():
,
где L- длина.
Тогда
.
Т.о.
получена равномерная оценка для остатка
ряда для производных
.
Пример. Ряд zk/k2 сходится равномерно в круге |z|1, а ряд из производных zk-1/k не может равномерно сходится в этом круг, т.к. он расходится при z=1. Ряд zk-1/k равномерно сходится при |z|<1.
Для равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами верна
Теорема
14.3. Пусть
uk(x)
– непрерывно дифференцируемы на отрезке
[a,b]
и ряд, составленный из производных
- равномерно сходится на отрезке [a,b],
тогда если ряд
сходится хотя бы в одной точкеc[a,b],
то он равномерно сходится на всем отрезке
[a,b],
его сумма
непрерывно дифференцируема и
.
Доказательство.
Пусть
(непрерывна в силу равномерной сходимости
ряда).
Найдем первообразную
для
.
Ряд
сходится по условию теоремы
тоже сходится на всем промежутке.
Левая часть равенства имеет производную по x S(x)=(x) и
сходится равномерно,
т.к. первый ряд справа сходится равномерно,
а второй не зависит от x.
Примеры.
Равномерно сходящийся на всей действительной оси ряд
дифференцировать нельзя, так как ряд
из производных
расходится, например приx=0.(1+1+1+1+…)=0+0+0+0+… Ряд, полученный в результате формального дифференцирования, сходится и даже равномерно, но дифференцирование не правомерно, т.к. исходный ряд расходится.
почленное
дифференцирование возможно в силу
равномерной сходимости ряда из
производных.