
- •2.3 Модели вероятностных процессов
- •Исследование потока событий «отказ – восстановление – отказ - …» в технич.
- •Граф состояний: на ребрах графа указаны вероятности переходов из одного состояния в другое
- •Решение уравнений Колмогорова - Чепмена
- •Система с параллельным соединением образцов оборудования
- •Циклограммы работы образцов оборудования А, Б
- •Граф состояний резервированной системы
- •Определение вероятности нахождения системы в состоянии S0 в момент времени
- •Определение вероятности нахождения системы в состоянии S1 в момент времени
- •Система дифференциальных уравнений дя вычисления нахождения системы
- •Определение функции готовности системы
- •Определение интенсивностей отказов и восстановлений образцов через средние

2.3 Модели вероятностных процессов
•Вероятностный процесс – процесс смены состояний объекта, поток событий
•Для сложных систем характерен марковский процесс – такой, у которого для каждого момента времени вероятность любого состояния объекта в будущем зависит только от состояния объекта в настоящий момент и не зависит от того, каким образом объект пришел в это состояние

Исследование потока событий «отказ – восстановление – отказ - …» в технич.
системе
Система может находиться в двух состояниях:
работоспособности (с вероятностью P1) и ремонта (с вероятностью P2 )
Отправные предположения:
•поток отказов – пуассоновский с интенсивностью отказов λ;
•время работы до отказа и время восстановления системы – случайные величины, распределенные
экспоненциально.

Граф состояний: на ребрах графа указаны вероятности переходов из одного состояния в другое (рассм.
временной интервал [t, t+Δt]
|
λ t |
- |
|
1 |
|
λΔt
S |
S2 |
1 |
|
|
μΔt |
1 |
t |
- μ |
техническая система находится в одном из двух состояний: работоспособности (состояние S1) и ремонта (состояние S2)

Вероятности нахождения системы в момент t+Δt в состоянии работы/ремонта
P1 (t t) P1 (t) e t P2 (t) (1 e t )
P1 (t t) P1 (t) (1 t) P2 (t) t
P2 (t t) P2 (t) (1 t) P1 (t) t)
λ∙∆t
μ∙∆t
–вероятность перехода из состояния S1 в состояние S2,
–вероятность обратного перехода.

. |
Уравнения Колмогорова - Чепмена |
|
P1/ (t) P1 (t) P2 (t);
P2/ (t) P2 (t) P1 (t)
С учетом Р1 + Р2 = 1
P1/ (t) ( ) P1 (t) .

Решение уравнений Колмогорова - Чепмена
P1(t) → P1(s); |
dP1 sP (s) P (0) . |
||
|
dt |
1 |
1 |
|
|
|
sP1(s) - P1(0) + (λ + μ) P1(s) = μ .
P1 (t) 1 e ( )t P1 (0) e ( )t .

Система с параллельным соединением образцов оборудования
Система находится в неработоспособном состоянии, если отказали и ремонтируются оба образца

Циклограммы работы образцов оборудования А, Б
и системы с резервированием

Граф состояний резервированной системы
λ– интенсивность отказов;
μ– интенсивность восстановлений.

Определение вероятности нахождения системы в состоянии S0 в момент времени
P0 (t+Δt) = t+ Δt
=P0 (t)·e- λΔt · e- λΔt + P1 (t) · (1 – e- μΔt) · e- λΔt +
+б.м.
P0/ (t) 2 P0 (t) P1(t).