фигуры D.

4. Формула Симпсона

От квадратурной формулы следует ожидать большей точности, если для приближения подынтегральной функции f на частичных отрезках использовать квадратичное интерполирование.

Снова разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей точками

, Ь- а

^{а = Хо < X, <... < X, - с общей длиной ^ - ^ и обозначим yi=f(xi)}

(i=0,l,...,n), но теперь возьмем четное число п. Тогда можно рассматривать «сдвоенные» отрезки [xq; Х2], [Х2; Х4],..., [Хп.2; Хп] с тремя известными узлами и на них функцию f заменять интерполяционными многочленами Ньютона второй степени (на каждом отрезке свой многочлен). Для х€[хо; Х2] имеем

/(X) . + ,^y, + ^ AVo , .де ^ = ^ (4ЛЗ)

Вычислим интеграл от правой части на отрезке [хо; Хг) с заменой переменной x=Xo+ht:

(у, + ^Ауо + ^-^^—^ )dx =h {у, + tAy, + ^^^-^ AVo )dt =

2

1 h

= h(2y, + 2 Ay, + - AVo ) = - (6^0 + ^(У1 -Уо) + (Уо- '^Ух + >'2)) =

= ^{У,+Ьх+У2)-

Следовательно,

h

f{x)dx^-{y,+4y, +у^). ^4

Аналогично на остальных отрезках: . /(^W-^ « 3 + + y^.i) (/ = 2,4,..., п - 2). (4.15)

Xf

Результатом суммирования всех полученных приближенных равенств и будет формула Симпсона:

'г h

f(x)dx ^-(Уо+У„+ ЧУх +Уз+- + Уп-х) +

(4.16)

+ 2(;^2+74+- + Л-2)Х

правую часть которой обозначим Jf^.

Формула Симпсона выглядит более громоздкой по сравнению с формулами прямоугольников и трапеций, но она значительно точнее их и может привести к требуемому результату при меньших п.

ТЕОРЕМА. Если производная четвертого порядка f^"^^ подынтегральной функции непрерывна на [а; Ь], то

(4.17)

и поэтому

(С)

J-J

(4.18)

Как видно по оценке ^4

jgQ^4 , точность формулы Симпсона

на два порядка выше точности формулы трапеций и формулы прямоугольников с центральными ординатами. Она является одной из самых употребительных в практике вычисления определенных интегралов.

6. Численное дифференцирование 6.1. Постановка задачи

Рассматриваемые в курсе математического анализа задачи нахождения производных функции одной переменной обычно доставляют меньше затруднений, нежели вычисление интегралов. Конечный набор формул и правил дифференцирования являет собой точный метод их решения. Потребность в приближенных методах возникает, например, когда нахождение точных производных требует сложных выкладок, а результат содержит громоздкие выражения, или когда надо найти производную табличной функции с неизвестным аналитическим выражением. Ясно, что в последнем случае речь может идти только о приближенном дифференцировании.

Пусть функция у = f(x) задана на некотором отрезке [а; Ь] и имеет таблицу значений в точках а-х^ < Xj < ... < = Ь ,

Численным дифференцированием можно решать задачи двух видов:

1. Найти приближенное значение производной к-го порядка функции f в точке хе[а; Ь].

x	^0	* X,		*
у	>^0	Ух		Ут

2. Найти таблично заданную функцию {а < х^ < х^ < ... < х^ < о)^ являющуюся приближением к производной г ^ на отрезке L-^o ^ J ^ L^? b .

Здесь таблица может строиться на исходных табличных аргументах (m=n и

^ ), но это не обязательно.

Первая задача основная, так как после определения аргументов вторая сводится к первой. По этой причине далее будем заниматься только вычислением приближенных значений производных в точках х€[а; Ь] и оценкой их погрешностей.

Для решения этой задачи функцию f обычно заменяют достаточно простым к раз дифференцируемым аналитическим приближением р:

f{x)^ р{х\х^[а\Ь], (6.1.1)

а затем производную f^'^^x) в точке хе[а; Ь] принимают приближенно равной рПх):

f'\x)«p^'\x),x^[a;bl (6.1.2)

Обсудим вопросы, связанные с погрешностью приближенной формулы (6.1.2) и оценкой этой погрешности.

Если функция f имеет к-ю производную и известен остаточный член г: r=f(x)"p(x) формулы (1), справедливо соотношение

r*'=f«(x)-p«(x),xe[a;b]. (6.1.3)

Следовательно, погрешность приближения р^^^(х) равна к-й производной остаточного члена г в точке х. Но, поскольку в выражении остаточного члена обычно присутствуют неизвестные числовые параметры, эту погрешность удается находить только приближенно.

Строгая оценка погрешностей формулы (6.1.2) представляет собой серьезную проблему уже при вычислении первой производной.

Показано, что оценочная функция V приближенного равенства f-p позволяет получить абсолютную погрешность интеграла от р — неравенство (1.4). Здесь дело обстоит иначе.

Пусть V — оценочная функция для приближенной формулы (6.1.1). Оказывается, что найти абсолютную погрешность числа р'(х) с помощью функции V не удается, если даже V дифференцируема. А именно, из

^{^(•^)| = /(•^) - Р{^) ^ ^(•^) не следует, что ^4-^)1 ^'V{x) и}

^.(;,) -V{x), На рис. 3 приведен график функции у=г(х), когда г(х)>0 и г'(х)>0

на [а; Ь] (значит, |г(х)|=г(х) и |г'(х)| =г'(х)). Видно, что r(x)<V(x) на [а; Ь], но в то же время r'(x)>V'(x) при всех хе[а; Ь].

неравенства

А

а щ Ь ^

Рис. 3. Рис. 4.

Надо также заметить, что при дифференцировании приближенных формул вида (6.1.1) может происходить существенная потеря точности. Вследствие этого погрешность формулы (6.1.2) часто оказывается значительно больше погрешности исходного приближения (6.1.1). На рис. 4 видно, что в достаточно малой окрестности точки xq значения функций f и р близки, в точке Xq они совпадают, однако первые производные в этой окрестности значительно отличаются (самое большое различие между f (х) и р^х) имеет место в точке Хо).

Отсюда следует, что задача численного дифференцирования относится к числу некорректных задач, т.е. таких, решение которых при малых погрешностях исходных данных может привести к большим погрешностям результатов. При вычислении производных высших порядков возможен еще больший рост погрешностей, поэтому па практике приближенные методы редко используются для нахождения производных порядка к>2.

Естественно, что дополнительные погрешности возникают при вычислении значений р^^\х), но, поскольку они не так существенны, как погрешности формул, и их оценка не вызывает затруднений, далее о них говорить не будем.

Конкретный вид формул численного дифференцирования зависит от способа приближения функции f и выбранного класса приближающих функций р.

Следует отметить, что основанные на полиномиальном интерполировании формулы позволяют легко находить приближенные значения производных непосредственно по табличным данным. Однако они могут обладать малой точностью ввиду того, что отмеченная выше некорректность задачи численного дифференцирования при таком способе приближения функции f проявляется весьма значительно. Представим себе, что па отрезке [а; Ь] функция f близка к линейной, и на узлах а = < Xj < ... < х^ =Ь построен интерполяционный многочлен Рп(х) высокой степени п, приближающий f с точностью до некоторого числа s>0: /(х) - (х) |< £ для всех хе[а; Ь].

Соответствующая часть графика многочлена представляет собой извилистую линию, пересекающую график функции f во всех его точках с абсциссами Xj, i^O, 1, ... , n и расположенную в области

о