1.3. Правила записи приближенных чисел

Для решения инженерных задач часто приходится определять различные числа, как точные, так и приближенные. При этом требуется, чтобы погреш- ность, возникающая при округлении была бы минимальной.

Пусть некоторое десятичное число представлено его разложением

а = ±(а^ •ю'^ •ю'""^ + ... + -10^ -10^ + -10"^ + ... + -ю"'),

где 10*^-единица разряда 5', - цифра разряда, iS - номер разряда.

Все цифры числа от первой слева, неравной нулю, до последней цифры справа называются значащими цифрами.

Например, пусть заданы следующие числа:

ах = 2.67; а2 = 0.267; а^ = 0.00267; ^4 = 0.26700 Тогда для (21, а2, а^ имеем 3 значащие цифры и для ^4 - 5 значащих цифр.

Если крайние справа нули не считают значащими, то число записывают в экспоненциальной форме:

а = ^10^,

где |Li - экспонента, р - порядок числа.

Значащая цифра числа as называется верной, если абсолютная погреш- ность этого числа не превосходит половины единицы разряда S, т. е.

Аа< .

2

Если абсолютная погрешность числа не указана, то все его значащие цифры считают верными.

Под округлением числа а будем понимать его замену числом а\ которое имеет меньшее количество значащих цифр, чем исходное число а. Округление должно производиться таким образом, чтобы возникающая ошибка была ми- нимальной.

Для оценки величины ошибки вводят следующие характеристики:

а-а

А

окр ~

- абсолютная погрешность округления А^^^р =

- относительная погрешность округления 5^ =

а

При необходимости могут использоваться их предельные значения:

А окр

Аокр > A^j^p ; 5окр -

а

Если округляется приближенное число, то погрешность полученного числа включает две составляющие:

• погрешность округления;

• погрешность исходного числа.

Округление чисел производится по следующим правилам, 1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя сохра- няемая цифра не изменяется.

2. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохра- няемая цифра увеличивается на 1.

3. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, и за ней идут не нули, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

4. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие цифры, идущие за ней равны нулю, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная, и не изменяется, если она четная.

1.4. Погрешность суммы и разности приближенных чисел

Абсолютная погрешность алгебраической суммы или разности несколь- ких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел:

A(xi + ... +х^)< АХ| + + ... + Ах^; A(xi -... -х^) < Ах^ + Ах2 +... + Ах^. Предельная абсолютная погрешность суммы или разности определяется следующим образом:

A(xi +^2 + ...+х^) = Ах^ + Ах2 + ... +Ах^; A(xi -Х2 - ...-xJ = Axi +Ах2 + ... + Ах„. Оценим относительную погрешность 5(xi+X2) суммы приближенных чисел. ПустьХх.Хг- точные числа одного знака, х\, хг - их приближения. Тогда

_{5(^1+^2)- \ '^S^ax (1)}

Xi +Х2

где §п,ах =тах( 5x1,8x2).

Предельная относительная погрешность суммы двух чисел вычисляется

как

6(Xi +X2) = 5max , (2)

где 5max = max(5xi,8x2).

Формулы (1) и (2) можно обобщить на случай произвольного количества слагаемых:

5(xi+X2+... + xJ<6^^; 6^^^ =max(8x1,5x2,...,SxJ;

5(xi+X2+...+x^) = 5max; 5max = max(5x^,5x2Sx„).

Таким образом, при суммировании чисел одного знака не происходит по- тери относительной точности, что видно из приведенных соотношений.

Оценка относительной погрешности для разности двух чисел осуществ- ляется по формуле

A(xi -Х2) ^ 5, 5(xi - Х2) = —^-^ — < v5

■^max5

Xj Х2

где

Smax =max( 6x1,8x2);

V =

X,-X,

Формулы для предельных относительных погрешностей имеют вид:

х,+х.

5(Xj -Х2) < vSmax; V =

5 ^max = max(5xi, 8x2).

х,-х.

Очевидно, что для разности приближенных чисел относительные по- грешности возрастают в v раз, где v > 1. При этом возможна суш,ественная по- теря точности, которая происходит в том случае, если числа Х\, Х2 настолько близки, что их сумма значительно превышает их разность

х,+х.

»

Х^- Х2 . Тогда V » 1, что приводит к полной или почти полной

потере точности. Такая ситуация называется катастрофической потерей точ- ности.

\.S. Погрешности произведения и частного приближенных чисел

Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя извест- ную формулу

д^а-Ъа А или Аа = 6а

а

для а = xiX2...Xn или а = Х\/х2, где относительная погрешность произведения при- ближенных чисел определяется следующим образом:

5(xiX2...x„) < +6x2 + ... + 5х^. Формула показывает, что относительные погрешности нескольких при- ближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.

Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:

5(xiX2...x^) = +6x2 + ... + 8х^ Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:

Xi

< Sxj + 6x2;

= 6X|+ 8X2

J

J