1.6. Погрешность функции

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по из- вестным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.

Пусть задана функция Дх), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента Xq «Xq, имеющего известную предельную

абсолютную погрешность Axq. Если функция Дх) дифференцируема в точке xq, то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

Af(x,)^\fXx,)\Ax,.

Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргу- мента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.

5хо« 1 и 6Дхо)« 1.

Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к значительному увеличению погрешности ре- зультата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).

1.7. Погрешность функции нескольких переменных

Пусть у = f{xu У^ъ ...5 У^у) - приближенное значение функции от прибли- женных аргументов«Х^, х^^Х^, х^ «Х^, которые имеют абсолютные

ошибки Axj, Ах2, Ах^.

Для определения t^y используют принцип наложения ошибок, согласно

которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдель- ности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале вре- менно предполагают, что все аргументы, кроме xi являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью

этого аргумента Axj:

Aij; = Ai/(xi,X2,...,xJ = |Д (xi,X2,...,xJ|Axi , где производная определяется по xi. Затем вычисляется частная ошибка, вно- симая аргументом Ах 2:

Aiy = A2/(xi,X2,...,xJ = Д (xi,X2,...,xJ

Ахл.

в итоге искомая погрешность функции t^y, определяется суммой всех частных ошибок:

~Ау = A/(xi,X2,...,xJ « i Д (xi,X2,...,xJ Ах..

Условиями применимости этой формулы считается выполнение следую- щих неравенств:

5х,«1 (/=1^); 5/xi,X2, ...,х^)« 1.

1.8. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории погрешностей заключается в определении по- грешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С исполь- зованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функ-