1.4. Простые числа

Определение 1.10. Пусть a — целое число. Числа 1,-1, а, -а называются тривиальными делителями числа а.

Определение 1.11. Целое число pZ\{0} называется про­стым, если оно не является делителем единицы и не имеет других дели­телей, кроме тривиальных. В противном случае число рZ\{-1,0,1} называется составным.

Свойства простых чисел:

1. Если числа р и q простые и р делится на q, то р ~q.

2. Если число р простое и число а целое, то либо а делится на р, либо НОД(a, р) = 1.

Доказательство. Пусть НОД(a, p)=d>1. Тогда а делится на d и р делится на d, но так как число р простое, то либо d= ±1 (что противоре­чит предположению), либо d = ±p. □

3. Если число р простое и произведение аb делится на р, то либо а делится на р, либо b делится на р.

Доказательство. Пусть а не делится на р. Тогда по предыдущему свойству НОД(а, р) = 1. Следовательно, по свойству 2 наибольшего об­щего делителя, b делится на р. □

4. Если число р простое и произведение a₁a₂...a_k делится на р, то хотя бы одно из чисел а₁, а₂, ..., а_k делится на р.

5. Если числа р₁, р₂, .... р_k, q₁, q₂, …q_l простые и выполняется ра­венство для произведений р₁р₂…p_k ⁼ q₁q₂…q_l,то l=k и числа q₁,q₂, ...,q_l можно перенумеровать так, что р₁ ~q₁,p₂ ~ q₂, ...,p_k~q_k.

Теорема 1.11 (основная теорема арифметики). Вся­кое число nZ\{-l,0,l} можно представить в виде п =ε p₁p₂...p_r где ε = ±1 и p₁p₂...p_r — простые числа (не обязательно различные), r≥1. Это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Сначала докажем, что разложение существует. Пусть nZ\{-l,0,l}. Доказывать будем индукцией по |n|. Если |n| = 2, то n= ε-2, где ε= ±1, — база индукции. Пусть для всех чисел а Z \ {-1,0,1}, |а| < |n|, уже доказано существование нужного представ­ления. Докажем, что для n такое представление тоже возможно.

Если |n| — простое число, то, обозначив его |n| ⁼ p₁, получим п = ±|n| = ±εp₁, где ε= ±1.

Пусть теперь число п составное, |n| > 1, то есть существует нетри­виальный делитель а (a≠±1, а≠±п) числа n. Тогда существует такое целое число b, что n =ab, где b ≠ ±1, b ≠ ±n. Поскольку |n| > 1, справед­ливо равенство для абсолютных величин: |n| = |ab| = |а| • |b| > |а|.

Аналогично |n| >|b| поэтому к числам а и b применимо предполо­жение индукции:

a = ε₁p₁p₂...p_k, b = ε₂q₁q₂...q_l

где числа р_i, q_i простые, ε₁, ε₂ ±1.

Произведение ab дает требуемое представление. Существование представления доказано.

Теперь докажем единственность.

Пусть n = ε₁p₁p₂...p_k = ε₂q₁q₂...q_l, где числа р_i, q_i простые, ε₁, ε₂ ±1.Тогда ε₁= ε₂ = 1 при n > 0 ε₁= ε₂ = -1 при n< 0.

Далее, p₁p₂...p_k = q₁q₂...q_l, тогда по свойству 5 простых чисел k = l и числа q₁q₂...q_l можно перенумеровать так, что p₁= q₁, p₂= q_2,… p_k= q_l.

Представление числа nZ\{-l,0,1} в виде n = εp₁^α1 p₂ ^α2...p_s ^αs, где ε=±1, p₁p₂...p_s — различные простые числа, α_i≥ 1 для i= 1, 2, .... s, s ≥1, называется каноническим разложением числа n.

1.4.2. Распределение простых чисел

Следующие две теоремы называются теоремами Евклида о про­стых числах.

Теорема1.12. Простых чисел бесконечно много.

Доказательство. Проведем от противного. Пусть утверждение не­верно и p₁, р₂, .... р_s — все простые числа. Составим новое число: п=р₁р₂...р_s+1 и представим его в виде n= εp₁^α1p₂^α2...p_s^αs . Перенумеруем простые числа так, чтобы α1=0. Тогда число n= εp₁^α1p₂^α2...p_s^αs =р₁р₂...р_s+1. Левая часть делиться на р₁ и правая часть следовательно делиться на р₁. Отсюда р₁= 1 — не простое число. Противоречие доказывает теорему. □

Теорема1.13. Существуют сколь угодно длинные отрезки на­турального ряда, не содержащие простых чисел, то есть для любого k≥1 существует такое nN, что числа n+ 1,n+ 2,…, n+k - составные.

Доказательство. Рассмотрим число n = (k+1)!+1. При k≥1 вы­полняется неравенство n≥3. Тогда n+1 = (k+1)! + 2 = 1∙2∙...∙(k+1)+2 делится на 2 (и не равно 2), n+2 = (k+1)! + 3 = 1∙2∙3∙...∙(k+1)+3 делится на 3 (и не равно 3) и т.д. Число n+k = (k+1)! + (k+1) = 1∙2∙...∙(k+1)+(k+1) делится на k+1 (и не равно k+1).□

Если выписать подряд все простые числа, то можно заметить, что относительная плотность их убывает: от 1 до 10 — четыре простых чис­ла, то есть 40 % целых чисел являются простыми, от 1 до 100 — 25 про­стых чисел (25 %), от 1 до 1000 — 168 простых чисел (17 %), от 1 до 10⁵ — 9 592 простых числа (менее 10 %).

Обозначим число всех простых чисел, не превосходящихx. Из первой теоремы Евклида о простых числах следует, что при. Еще в XVIII веке Л. Эйлер установил, что простых чисел «мно­го» в том смысле, что, и в то же время большинство натуральных чисел — составные, поскольку .

В 1851-52 году П.Л.Чебышев показал, что функция растет так же, как функция, а именно, что существуют такие постоянныеи, что для любогох ≥2 выполняется неравенство

В 1896 году Ж. Адамаром и Ш. Ла Валле Пуссеном независимо

был получен асимптотический закон распределения простых чисел: