
- •1.2. Наибольший общий делитель н наименьшее общее кратное
- •1.3. Вычисление наибольшего общего делителя
- •1.3.1. Алгоритм Евклида
- •1.4. Простые числа
- •1.4.2. Распределение простых чисел
- •Глава 2 сравнения с одним неизвестным
- •2.1. Отношение сравнимости
- •2.2. Решение сравнений
- •2.2.1 Сравнения первой степени
- •2.2.2. Китайская теорема об остатках
- •2.2.3. Сравнения произвольной степени по простому модулю
- •2.3. Сравнения второй степени
- •2.3.1. Символы Лежандра и Якоби
- •Решение сравнений для случаев простого модуля.
- •Случаи составного модуля
1.4. Простые числа
Определение 1.10. Пусть a — целое число. Числа 1,-1, а, -а называются тривиальными делителями числа а.
Определение
1.11.
Целое число pZ\{0}
называется простым,
если
оно не является делителем единицы и не
имеет других делителей, кроме
тривиальных. В противном случае число
р
Z\{-1,0,1}
называется составным.
Свойства простых чисел:
Если числа р и q простые и р делится на q, то р ~q.
Если число р простое и число а целое, то либо а делится на р, либо НОД(a, р) = 1.
Доказательство. Пусть НОД(a, p)=d>1. Тогда а делится на d и р делится на d, но так как число р простое, то либо d= ±1 (что противоречит предположению), либо d = ±p. □
Если число р простое и произведение аb делится на р, то либо а делится на р, либо b делится на р.
Доказательство. Пусть а не делится на р. Тогда по предыдущему свойству НОД(а, р) = 1. Следовательно, по свойству 2 наибольшего общего делителя, b делится на р. □
Если число р простое и произведение a1a2...ak делится на р, то хотя бы одно из чисел а1, а2, ..., аk делится на р.
Если числа р1, р2, .... рk, q1, q2, …ql простые и выполняется равенство для произведений р1р2…pk = q1q2…ql,то l=k и числа q1,q2, ...,ql можно перенумеровать так, что р1 ~q1,p2 ~ q2, ...,pk~qk.
Теорема
1.11
(основная
теорема
арифметики).
Всякое число nZ\{-l,0,l}
можно
представить в виде п
=ε p1p2...pr
где
ε
= ±1
и
p1p2...pr
—
простые числа (не обязательно различные),
r≥1.
Это представление единственно с точностью
до порядка сомножителей.
Доказательство.
Сначала
докажем, что разложение существует.
Пусть nZ\{-l,0,l}.
Доказывать
будем индукцией по |n|.
Если
|n|
=
2,
то n=
ε-2,
где
ε=
±1,
— база индукции. Пусть для всех чисел
а
Z
\ {-1,0,1}, |а|
<
|n|,
уже
доказано существование нужного
представления. Докажем, что для n
такое
представление тоже возможно.
Если |n| — простое число, то, обозначив его |n| = p1, получим п = ±|n| = ±εp1, где ε= ±1.
Пусть теперь число п составное, |n| > 1, то есть существует нетривиальный делитель а (a≠±1, а≠±п) числа n. Тогда существует такое целое число b, что n =ab, где b ≠ ±1, b ≠ ±n. Поскольку |n| > 1, справедливо равенство для абсолютных величин: |n| = |ab| = |а| • |b| > |а|.
Аналогично |n| >|b| поэтому к числам а и b применимо предположение индукции:
a = ε1p1p2...pk, b = ε2q1q2...ql
где числа рi, qi простые, ε1, ε2 ±1.
Произведение ab дает требуемое представление. Существование представления доказано.
Теперь докажем единственность.
Пусть n = ε1p1p2...pk = ε2q1q2...ql, где числа рi, qi простые, ε1, ε2 ±1.Тогда ε1= ε2 = 1 при n > 0 ε1= ε2 = -1 при n< 0.
Далее, p1p2...pk = q1q2...ql, тогда по свойству 5 простых чисел k = l и числа q1q2...ql можно перенумеровать так, что p1= q1, p2= q2,… pk= ql.
Представление
числа nZ\{-l,0,1}
в виде n
=
εp1α1
p2
α2...ps
αs,
где ε=±1,
p1p2...ps
—
различные простые числа, αi≥
1 для i=
1,
2, .... s,
s
≥1,
называется каноническим
разложением числа
n.
1.4.2. Распределение простых чисел
Следующие две теоремы называются теоремами Евклида о простых числах.
Теорема1.12. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Проведем от противного. Пусть утверждение неверно и p1, р2, .... рs — все простые числа. Составим новое число: п=р1р2...рs+1 и представим его в виде n= εp1α1p2α2...psαs . Перенумеруем простые числа так, чтобы α1=0. Тогда число n= εp1α1p2α2...psαs =р1р2...рs+1. Левая часть делиться на р1 и правая часть следовательно делиться на р1. Отсюда р1= 1 — не простое число. Противоречие доказывает теорему. □
Теорема1.13.
Существуют сколь угодно длинные отрезки
натурального ряда, не содержащие
простых чисел, то есть для любого k≥1
существует
такое nN,
что числа n+
1,n+
2,…,
n+k
- составные.
Доказательство. Рассмотрим число n = (k+1)!+1. При k≥1 выполняется неравенство n≥3. Тогда n+1 = (k+1)! + 2 = 1∙2∙...∙(k+1)+2 делится на 2 (и не равно 2), n+2 = (k+1)! + 3 = 1∙2∙3∙...∙(k+1)+3 делится на 3 (и не равно 3) и т.д. Число n+k = (k+1)! + (k+1) = 1∙2∙...∙(k+1)+(k+1) делится на k+1 (и не равно k+1).□
Если выписать подряд все простые числа, то можно заметить, что относительная плотность их убывает: от 1 до 10 — четыре простых числа, то есть 40 % целых чисел являются простыми, от 1 до 100 — 25 простых чисел (25 %), от 1 до 1000 — 168 простых чисел (17 %), от 1 до 105 — 9 592 простых числа (менее 10 %).
Обозначим
число всех простых чисел, не превосходящихx.
Из первой теоремы Евклида о простых
числах следует, что
при
.
Еще в XVIII веке Л. Эйлер установил, что
простых чисел «много» в том смысле,
что
,
и в то же время большинство натуральных
чисел — составные, поскольку
.
В
1851-52 году П.Л.Чебышев
показал, что функция
растет так же, как функция
, а именно, что существуют такие постоянные
и
,
что для любогох
≥2
выполняется
неравенство
В 1896 году Ж. Адамаром и Ш. Ла Валле Пуссеном независимо
был получен асимптотический закон распределения простых чисел: