1.3. Вычисление наибольшего общего делителя

1.3.1. Алгоритм Евклида

Для вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел применяется способ повторного деления с остатком, называемый алго­ритмом Евклида.

Алгоритм 1.1. Алгоритм Евклида.

Вход. Целые числа а, b; 0 < b ≤ а.

Выход. d=НОД (a, b).

1. ^{Положить r0 ← a, r1← b, i ← 1.}

2. Найти остаток r_i+1 от деления r_i-1 на r_i.

3. Если r_i+1=0, то положить d←r_i. В противном случае положить i ← i + 1 и вернуться на шаг 2.

4. Результат: d.

Сложность алгоритма Евклида равна O(log²a)

Для доказательства корректности алгоритма Евклида нам понадо­бятся две леммы.

Лемма 1.5. Если числа а и b целые и а делится на b, то b=НОД(а, b).

Доказательство. Пусть d= НОД(а, b), тогда по теореме 1.4 суще­ствуют такие целые числа т,n, что d = ma + nb. Поскольку, а делится на b, то сумма в правой части равенства делится на b, а значит и d делится на b. В то же время b делится на d как на наибольший общий делитель. Таким образом, числа d и b ассоциированы и равны с точностью до зна­ка. □

Лемма 1.6. Для любых целых чисел а, b, с выполняется равен­ство НОД(а + cb, b) = НОД(а, b).

Доказательство. Пусть d=НОД(а, b). Тогда а делится на d, b де­лится на d, значит, по свойству 2 делимости, и сумма а + cb делится на d, то есть d — общий делитель чисел а + cb и b.

Пусть d₁ — произвольный общий делитель чисел а + cb и b. Тогда число а = (а + cb) - cb делится на d₁, то есть d₁ — общий делитель чисел а и b. А так как делитель d наибольший, то d делится на d₁, и d— наи­больший общий делитель чисел а + cb и b. □

Теорема 1.7. Для любых a, b > 0 алгоритм Евклида останавли­вается и выдаваемое им число d является наибольшим общим делителем чисел а и b.

Доказательство. По теореме о делении с остатком для любого i ≥ 1 имеем r_i-1=q_ir_i+r_i+1, где 0≤r_i+1<r_i. Получаем монотонно убы­вающую последовательность неотрицательных целых чисел r₁> r₂> r₃>...≥0, ограниченную снизу. Такая последовательность не может быть бесконечной, следовательно, алгоритм Евклида останавли­вается.

Докажем теперь, что число d — наибольший общий делитель для чисел r₁, r₂,.... r_k, где r_k-1 делится на r_k. С учетом леммы 1.6 можем запи­сать:

НОД(а, b) =НОД(r₀, r₁) = НОД(q₁ r₁+ r₂, r₁) = НОД(r_1, r₂) = =НОД(r₂,r₃) = …=НОД(r_k-1, r_k).

А по лемме 1.5 получаем НОД(r_k-1, r_k) = r_k = d.

Алгоритм 1.2. Бинарный алгоритм Евклида .

Этот вариант алгоритма Евклида оказывается боле быстрым при реализации на компьютере, поскольку использует двоичное представление чисел a и b. Бинарный алгоритм Евклида основан на следующих свойствах наибольшего общего делителя (считаем, что 0<b≤a):

1. Если оба числа a и b четные, то НОД(a,b)=2*НОД(,);

2. Если число a нечетное, число b четное, то НОД(a,b)= НОД(a,);

3. Если оба числа a и b нечетные, a>b, то НОД(a,b)= НОД(a-b,b);

4. Если a=b, то НОД(a, b)=a.

Бинарный алгоритм Евклида:

Вход. Целые числа а, b; 0 < b ≤ а.

Выход. d=НОД(а, b).

1. Положить g ←1.

2. Пока оба числа а и b четные, выполнять a← , b←,g←2g до

получения хотя бы одного нечетного значения а или b.

3. Положить u ←a,v← b.

4. Пока u ≠0, выполнять следующие действия.

1. Пока и четное, полагать и ←

2. Пока v четное, полагать v←

3. При u≥v положить u ← u-v. В противном случае положить

v ← v-u.

5. Положить d←gv.

6. Результат: d.

7. Сложность этого алгоритма равна O(log²a).

Алгоритм 1.3. Расширенный алгоритм Евклида.

Вход. Целые числа а, b; 0 < b ≤ а.

Выход. d=НОД(a, b); такие целые числа х,у, что ах + by=d.

1. Положить r₀ ←a, r₁ ←b , x₀ ←1, x₁ ←0, y₀ ←0, y₁ ←1, i ←1.

2. Разделить с остатком r_i-1на r_i : r_i-1= q_ir_i+r_i+1.

3. Если r_i+1 = 0, то положить d ← r_i, x ← x_i , y ← y_i. В противном слу­чае положить x_i+1← x_i-1-q_ix_i, y_i+1← y_i-1- q_iy_i , i ← i+1 и вернуться на шаг 2.

4. Результат: d, х, у. □

Сложность этого алгоритма равна O(log²a).

Алгоритм 1.4. Расширенный бинарный алгоритм Евклида

Вход, Целые числа а, b; 0 <b≤ а.

Выход, d =НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d.

1. Положить g ←1.

2. Пока оба числа а и b четные, выполнять a← , b←,g←2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b.

3. Положить u ←a,v← b, A ←1,B← 0, C ←0,D← 1.

4. Пока u ≠0, выполнять следующие действия.

4.1. Пока u четное:

1. Положить и ←

2. Если оба числа А и В четные, то положить A←, B←

В противном случае положить A← , B←

4.2. Пока v четное:

4.2.1. Положить v←

4.2.2. Если оба числа С и D четные, то положить C←, D←, В противном случае положить C← , D←

4.3. При u≥v положить u ←u-v, A ←A-C, B ←B-D. В про­тивном случае положить v←v-u, С←C-A,D←D-B.

5. Положить d←gv, х ← С, у ← D.

6. Результат: d, х, у.

Сложность этого алгоритма равна O(log²a).