Виды векторных полей

Определение. Векторное поле называется соленоидальным в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке этой области. Для соленоидального поля характерно, что в областиотсутствуют источники и стоки, а потокдля любой замкнутой поверхности, т.к. по теореме Остроградского-Гаусса.

Для соленоидальных полей имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, состоящий в следующем. Теорема. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки остается постоянным вдоль этой трубки. Доказательство. Пусть - соленоидальное поле, т.е.. Рассмотрим некоторую векторную трубку, т.е часть часть пространства ограниченную векторными линиями, пересекающими некоторый заданный контур. Пересечем векторную трубку двумя поперечными сечениямии. Эти сечения вместе с боковой поверхностьюобразуют замкнутую поверхность.

Т.к. поле соленоидально, то поток через замкнутую поверхность равен нулю:. Поэтому получим:

.

На боковой поверхности векторнаправлен по касательной к векторной линии, т.е. лежит в касательной плоскости. Поэтомуперпендикулярен вектору нормали к поверхности, т.е., откуда. На поверхностяхинаправления нормалей берутся внешними к поверхностям. На поверхности(см. рисунок) внешняя нормаль направлена в сторону, противоположному направлению векторных линий. Поэтому заменив ее на внутреннюю нормаль и, соответственно, поменяв ориентацию, будем иметь:

.

Поэтому поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и тоже значение. Иногда соленоидальное поле назвают трубчатым. Это согласуется с физическими моделями соленоидальных полей, когда говорят, что поле несжимаемо, что через поперечное сечение трубки проходит одинаковое количество векторных линий. Т.е. векторные линии не возникают и не пропадают ни в какой точке поля. Они либо уходят в бесконечность, либо являются замкнутыми. Пример 1. Поле напряженности магнитного поля, образованного электрическим током, текущему по бесконечному прямолинейному проводу, соленоидально всюду, кроме точек оси, т.к..Пример 2. Поле электрической напряженности точечного заряда также соленоидально всюду, за исключением начала координат.

Определение. Векторное поле называетсябезвихревым в области , если в каждой ее точке.Определение. Векторное поле , заданное в области, называетсяпотенциальным, если в этой области существует такая скалярная функция , что векторможно представить в виде градиента этой функции:

.

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля. Из формулыследует, что

и ,

т. е. – есть полный дифференциал потенциала этого поля. Критерием потенциальности векторного поляслужит равенство

.

Следовательно, для того чтобы ВП было потенциальным необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым. Выполнение условия в областиприводит не только к потенциальности ВП, но и к следующим результатам:а) в области существует потенциал, который может быть определен с точностью до постоянной по формуле

где – любая фиксированная точка;– переменная точка в области;– произвольная постоянная. Во втором интеграле формулы постоянен, а в третьемипостоянные величины;б) циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

.

Если же хотя бы в одной точке, внутренней по отношению к контуру , полене определено, циркуляция по этому контуру может и не обратиться в нуль, хотя поле потенциально;в) для любых двух точек иобластизначение линейного интеграла векторного поля

не зависит от пути интегрирования в области ;г) линейный интеграл этого поля вдоль любого контура , соединяющего точкииравен разности значений потенциалав конечной и начальной точках контура:

.

Физический смысл этого результата: если – силовое поле, то разность потенциалов между точкамииравна работе, которую поле совершает при перемещении материальной точки изв.Пример 3. Доказать, что векторное поле является потенциальным. Найти его потенциал и вычислить линейный интеграл поля от точкидо точки.Решение. Так как поле определено и дифференцируемо в любой точке пространства и (проверьте самостоятельно), то данное поле потенциально. Найдем потенциал поля, взяв в качестве точкиначало координат:. Вычислим линейный интеграл :.Определение. Векторное поле называетсягармоническим, если оно одновременно является и потенциальным и соленоидальным, т.е. и. Из определения следует, что гармоническое поле одновременно является полем безвихревым и без источников и стоков. Потенциал этого поля удовлетворяет условию:.Пример 4. Выяснить тип векторного поля .Решение. Найдем ротор векторного поля :. Рассчитаем дивергенцию векторного поля:Следовательно, поле– гармоническое.

Существует теорема Гельмгольца о разложении произвольного поля на две компоненты - потенциальную и соленоидальную.

Теорема. Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке областипространства, то всюду вфункция может быть представлена в виде суммы безвихревого (потенуиального) поляи соленоидального поля:

,

где идля всех точек области. Замечание. Для описания электромагнитных полей существуют система уравнений Максвелла, накопленных к середине XIX века на основе экспериментальных результатов. 1) , т.е. электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле.2) , т.е. изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле. 3) , т.е. электрический заряд является источником электрической индукции.4) , т.е. магнитных зарядов не существует.Вопрос. Поле является

Гармоническим

Недостаточно данных для ответа

Соленоидальным

Произвольным

Потенциальным