
Дивергенция
Рассмотрим
векторное поле
и
некоторую замкнутую поверхность
в
этом поле. Допустим, что поток вектора
через
внешнюю сторону поверхности
положителен,
т.е.
.
Если
рассматривать заданное векторное поле
как поле скоростей движущейся жидкости,
то положительность потока указывает,
что количество жидкости, вытекающей из
тела
,
заключенного внутри замкнутой поверхности
,
больше, чем количество жидкости, втекающей
в это тело. То есть внутри тела
должны
находиться источники поля, обильность
(или интенсивность) которых характеризуется
величиной потока через
.
Аналогично в случае отрицательного
потока внутри тела должны находиться
стоки. Характеристикой интенсивности
источника или стока служитсредняя
удельная интенсивность,
которая определяется отношением потока
вектора
через
замкнутую поверхность
к
объему
тела
,
ограниченного поверхностью:
.
Чтобы
получить характеристику удельной
интенсивности источника (или стока) в
каждой отдельной точке, поступают так.
Рассмотрим некоторую точку
векторного
поля
и
заключим ее внутри небольшой замкнутой
поверхности
(например,
внутри сферы достаточно малого радиуса).
Объем тела, ограниченного поверхностью
обозначим
.
Разделив поток
вектора
через
замкнутую поверхность
на
объем
,
получим среднюю удельную интенсивность
.
Предел этой величины, когда объем
стремится
к нулю и
стягивается
в точку
,
если такой предел существует, называют
дивергенцией вектора
и
обозначают
.
Определение.
Дивергенцией
векторного
поля
в
точке
называется
предел отношения потока поля через
замкнутую поверхность
,
окружающую точку
,
к объему
тела
,
ограниченного этой поверхностью, при
стремлении диаметра
тела
к
нулю:
По
знаку дивергенции можно судить о наличии
источника или стока векторного поля в
точке
.
Так, если
,
то в точке
–
источник, а если
,
то – сток. Если
,
то в точке
нет
ни источника, ни стока или они уравновешивают
друг друга. Абсолютная величина
характеризует
мощность источника или стока в точке
.
Можно
доказать, что для векторного поля
в
области
дивергенция
равна
в
любой точке
.
На
основании этой формулы можно проверить
выполнимостьсвойств
дивергенции.
1)
,
которое
следует из линейности операции
дифференцирования.2)
,
т.к.
при
имеем
,
поэтому
.3)
,
где
-
радиус-вектор произвольной точки,
-
расстояние от этой точки до начала
координат.Пример
1.
Вычислить дивергенцию электростатического
поля напряженности
,
создаваемого зарядом
.Решение.
Воспользуемся
свойством (3), в котором
:
.
Так
как
,
то в любой точке поля, где определен
вектор
,
нет ни источников ни стоков.Ответ:
.Пример
2.
Найти дивергенцию поля
,
где
-
расстояние от произвольной точки до
начала координат,
-
постоянный вектор.Решение.
Т.к.
-
расстояние от произвольной точки
до
начала координат
,
то
или
.
Тогда
вектор
имеет
координаты
.
По
формуле
найдем
дивергенцию заданного вектора:
,
где
-
радиус-вектор произвольной точки
,
т.е.
.Ответ:
.
Вопрос.
Дивергенция векторного поля
равна
(введите
с клавиатуры только число)
Ваш ответ
3
Теорема Остроградского-Гаусса
Если
функции
дифференцируемы
в замкнутой области
,
ограниченной кусочно-гладкой поверхностью
,
то имеет место формула Остроградского-Гаусса
,
где
выбрана внешняя сторона поверхности
.
Для
векторного поля
в
области
существует
дивергенция, вычисляемая по формуле
в
любой точке
.
Тогдаформула
Остроградского-Гаусса
в векторной форме имеет вид
.
Теорема.
Поток вектора
через
внешнюю сторону замкнутой поверхности
равен
тройному интегралу от дивергенции
по
области
,
ограниченной поверхностью
.Следствие
1. Если
для векторного поля
дивергенция
равна нуль, т.е.
,
то поток вектора
через
любую замкнутую поверхность равен
нулю.Следствие
2.
Пусть в точке
имеется
изолированный источник или сток, т.е.
всюду
в поле, кроме самой точки
.
Тогда поток вектора
через
замкнутую поверхность
,
содержащую внутри себя точку
,
не зависит от формы поверхности.Пример
1.
Вычислить поток через любую замкнутую
поверхность поля напряженности
электростатического
поля, образованного зарядом
,
помещенным в начало координат (здесь
-
расстояние от точки поля до заряда,
-
радиус-вектор точки поля).Решение.
Ранее
было установлено, что
всюду,
кроме начала координат, где помещен
заряд
.
Если
замкнутая поверхность
не
содержит внутри себя заряда
,
то внутри нее
.
Тогда по следствию 1 из теоремы
Остроградского-Гаусса поток вектора
через
равен
нулю.
Если поверхность
содержит
внутри себя заряд
,
то по следствию 2 получим, что поток
вектора
не
зависит от вида поверхности. Поэтому в
качестве замкнутой поверхности
возьмем
сферу радиуса
с
центром в начале координат.
Внешняя
нормаль к сфере направлена по вектору
и
имеет одинаковое направление с
.
В этом случае
.
На
сфере длина радиус-вектора сохраняет
постоянное значение, равное радиусу
сферы, т.е.
или
.
Поэтому
поток вектора напряженности
через
поверхность шара радиуса
будет
равен:
,
где
-
площадь поверхности шара радиуса
.
Пример
2. Вычислить
поток векторного поля
через
замкнутую поверхность
,
ограниченную
и
,
в направлении внешней нормали.
Решение.
Поле
дифференцируемо
во всем пространстве, поэтому
получим
,
тогда
по теореме Остроградского-Гаусса поток
будет равен
,
где
–
область, в которой задано векторное
поле
и
ограниченное замкнутой поверхностью
.
Интеграл
удобно вычислять в цилиндрических
координатах:
.
Причем
область
перейдет
в область
Вернемся
к вычислению потока вектора
:
.Ответ:
.
Вопрос.
Поток векторного поля
через
замкнутую поверхность
может
быть вычислен по формуле: