Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
teoria_polya.docx
Скачиваний:
346
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
809.61 Кб
Скачать

Дивергенция

Рассмотрим векторное поле и некоторую замкнутую поверхностьв этом поле. Допустим, что поток векторачерез внешнюю сторону поверхностиположителен, т.е.. Если рассматривать заданное векторное поле как поле скоростей движущейся жидкости, то положительность потока указывает, что количество жидкости, вытекающей из тела, заключенного внутри замкнутой поверхности, больше, чем количество жидкости, втекающей в это тело. То есть внутри теладолжны находиться источники поля, обильность (или интенсивность) которых характеризуется величиной потока через. Аналогично в случае отрицательного потока внутри тела должны находиться стоки. Характеристикой интенсивности источника или стока служитсредняя удельная интенсивность, которая определяется отношением потока векторачерез замкнутую поверхностьк объемутела, ограниченного поверхностью:. Чтобы получить характеристику удельной интенсивности источника (или стока) в каждой отдельной точке, поступают так. Рассмотрим некоторую точкувекторного поляи заключим ее внутри небольшой замкнутой поверхности(например, внутри сферы достаточно малого радиуса). Объем тела, ограниченного поверхностьюобозначим. Разделив потоквекторачерез замкнутую поверхностьна объем, получим среднюю удельную интенсивность. Предел этой величины, когда объемстремится к нулю истягивается в точку, если такой предел существует, называют дивергенцией вектораи обозначают. Определение. Дивергенцией векторного поля в точкеназывается предел отношения потока поля через замкнутую поверхность, окружающую точку, к объемутела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметрателак нулю:

По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в точке . Так, если, то в точке– источник, а если, то – сток. Если, то в точкенет ни источника, ни стока или они уравновешивают друг друга. Абсолютная величинахарактеризует мощность источника или стока в точке. Можно доказать, что для векторного поляв областидивергенция равна

в любой точке . На основании этой формулы можно проверить выполнимостьсвойств дивергенции. 1) , которое следует из линейности операции дифференцирования.2) , т.к. приимеем, поэтому.3) , где- радиус-вектор произвольной точки,- расстояние от этой точки до начала координат.Пример 1. Вычислить дивергенцию электростатического поля напряженности , создаваемого зарядом.Решение. Воспользуемся свойством (3), в котором :. Так как, то в любой точке поля, где определен вектор, нет ни источников ни стоков.Ответ: .Пример 2. Найти дивергенцию поля , где- расстояние от произвольной точки до начала координат,- постоянный вектор.Решение. Т.к. - расстояние от произвольной точкидо начала координат, тоили. Тогда векторимеет координаты. По формуленайдем дивергенцию заданного вектора:, где- радиус-вектор произвольной точки, т.е..Ответ: . Вопрос. Дивергенция векторного поля равна (введите с клавиатуры только число)

Ваш ответ

3

Теорема Остроградского-Гаусса

Если функции дифференцируемы в замкнутой области, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью, то имеет место формула Остроградского-Гаусса

,

где выбрана внешняя сторона поверхности . Для векторного поляв областисуществует дивергенция, вычисляемая по формуле

в любой точке . Тогдаформула Остроградского-Гаусса в векторной форме имеет вид

.

Теорема. Поток вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхностиравен тройному интегралу от дивергенциипо области, ограниченной поверхностью.Следствие 1. Если для векторного поля дивергенция равна нуль, т.е., то поток векторачерез любую замкнутую поверхность равен нулю.Следствие 2. Пусть в точке имеется изолированный источник или сток, т.е.всюду в поле, кроме самой точки. Тогда поток векторачерез замкнутую поверхность, содержащую внутри себя точку, не зависит от формы поверхности.Пример 1. Вычислить поток через любую замкнутую поверхность поля напряженности электростатического поля, образованного зарядом, помещенным в начало координат (здесь- расстояние от точки поля до заряда,- радиус-вектор точки поля).Решение. Ранее было установлено, что всюду, кроме начала координат, где помещен заряд. Если замкнутая поверхностьне содержит внутри себя заряда, то внутри нее. Тогда по следствию 1 из теоремы Остроградского-Гаусса поток векторачерезравен нулю. Если поверхностьсодержит внутри себя заряд, то по следствию 2 получим, что поток векторане зависит от вида поверхности. Поэтому в качестве замкнутой поверхностивозьмем сферу радиусас центром в начале координат. Внешняя нормаль к сфере направлена по вектору и имеет одинаковое направление с. В этом случае. На сфере длина радиус-вектора сохраняет постоянное значение, равное радиусу сферы, т.е. или. Поэтому поток вектора напряженности через поверхность шара радиусабудет равен:, где- площадь поверхности шара радиуса. Пример 2. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченнуюи, в направлении внешней нормали.

Решение. Поле дифференцируемо во всем пространстве, поэтому получим, тогда по теореме Остроградского-Гаусса поток будет равен, где– область, в которой задано векторное полеи ограниченное замкнутой поверхностью. Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:. Причем областьперейдет в областьВернемся к вычислению потока вектора:.Ответ: . Вопрос. Поток векторного поля через замкнутую поверхностьможет быть вычислен по формуле:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]