Виды скалярных полей

Во многих физических задачах приходится иметь дело с полями, обладающими теми или иными специальными свойствами симметрии, облегчающими изучение таких полей. Укажем некоторые частные случаи. Плоскопараллельное поле Если скалярное поле в какой-либо декартовой системе координат можно описать функцией, зависящей не от трех, а от двух координат, т.е., то такое поле называетсяплоскопараллельным (или двумерным). Т.е. поле будет плоскопараллельным, если в пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого полепереходит само в себя. Поверхности уровня такого поля - это семейство цилиндрических поверхностей, причем в соответствующим образом выбранной системе координат они задаются уравнениями вида, где- произвольное число.

Осесимметрическое поле Если для поля можно подобрать такую цилиндрическую систему координат, в которой оно изображается функцией, зависящей только от переменныхи, но не от угла, то это поле называетсяосесимметрическим. Иначе говоря, поле является осесимметрическим, если оно переходит само в себя при повороте пространства на произвольный угол вокруг некоторой фиксированной прямой - оси симметрии этого поля. Поверхности уровня такого поля представляют собой поверхности вращения.

Если эти поверхности вращения - круглые цилиндры, т.е. поле в цилиндрической системе координат задается функцией, зависящей ишь от одной координаты, то поле называетсяцилиндрическим.

Сферическое поле Если значения поля зависят лишь от расстояния точкидо некоторой фиксированной точки, то такое поле называетсясферическим полем. Поверхности уровня такого поля - семейство концентрических сфер.

Вопрос. Скалярное поле потенциала электрического заряда , задаваемого формулой, где, является

Плоскопараллельным

Сферическим

Цилиндрическим

Осесимметрическим

Векторное поле

Определение. Если в каждой точке пространственной областизадан определенный вектор, то говорят, что в этой области задановекторное поле. Если в пространстве выбрать декартову систему координат, то векторное поле задается тремя скалярными полями (функциями) , являющимися проекциями векторана координатные оси декартовой системы:

.

Векторное поле тоже может быть плоским, например, . В дальнейшем будем рассматривать векторные поля, компоненты которых непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка.Примерами векторных полей могут служить: 1) поле скоростей стационарного потока жидкости (оно определяется так: пусть область заполнена жидкостью, текущей текущей в каждой точке с некоторой скорость, не зависящей от времени, но различной в разных точках области; тогда поставив в соответствие каждой точкевектор, получим векторное поле скоростей жидкости);2) поле тяготения (пусть в пространстве распределена некоторая масса, тогда на материальную точку единичной массы действует гравитационная сила);3) электрическое поле (если в пространстве распределены каким-либо образом заряды, то на единичный электрический заряд , помещенный в точку , эти заряды действуют с определенной силой.Определение. Векторной линией поля называется такая линия, в каждой точке которой касательная направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля.

Если векторное поле есть поле скоростей жидкости, то векторные линии - это траектории частиц жидкости. Напряженность электростатического поля определяется вектором, где- электрический заряд,- радиус-вектор направления, соединяющего заряд с точкой поля. Поэтому для положительного заряда векторными линиями будут лучи, выходящие из заряда.

Для магнитного поля векторными линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном. Найдем уравнения векторных линий. Пусть есть радиус-вектор какой-нибудь векторной линии. Тогда векторнаправлен по касательной к ней. По определению векторного поля векторыидолжны быть коллинеарны, откуда следует пропорциональность их проекций. Поэтому всякое векторное полеобладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

Замечание. Если векторное поле плоское, то дифференциальное уравнение векторных линий имеет вид:

В силу теоремы существования и единственности через каждую точку , при соблюдении условий этой теоремы, будет проходить одна определенная векторная линия. Если провести все векторные линии, проходящие через все точки некоторого куска поверхности, то их совокупность даствекторную трубку. Причем нормаль к векторной трубке в некоторой точке ортогональна вектору, т.е..

Пример 1. Для плоского векторного поля найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку.Решение. Так как и, то, согласно замечанию, уравнение семейства определяется общим решением дифференциального уравнения

.

Это уравнение линейное первого порядка. Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде . Выделим из этого семейства одно решение – то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку. Подставив в общее решениеи, получим. Итак, искомая векторная линия(синим цветом на чертеже отмечена точка с координатами).

Пример 2. Определить векторные линии магнитного поля, образованного постоянным электрическим током с силой , текущим по бесконечно длинному прямолинейному проводу.Решение. Если принять провод за ось , то векторнапряженности магнитного поля выражается формулойгде- расстояние от произвольной точкидо провода. В данном случае. Поэтому дифференциальные уравнения векторных линий примут вид:

,

здесь сократили на общий множитель . Последняя система равносильна системеЗначит, векторные линии напряженности магнитного поля определяются уравнениямии, гдеи- константы. Эти линии являются окружностями с центрами на оси, лежащими в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

Вопрос. Векторными линиями векторного поля являются

семейство гипербол

семейство прямых

семейство эллипсов

семейство парабол