Скалярное поле

Термин "поле" обычно употребляется в физике для обозначения части пространства (или всего пространства), в которой рассматривается некоторое физическое явление. Если речь идет о процессе, характеризующемся скалярной величиной (температура, давление и т.д.), поле называется скалярным.

Определение. Числовая функция , заданная в каждой точкенекоторой пространственной области, называетсяскалярным полем (то есть каждой точке этой области ставится в соответствие число). Введя в области, где задано скалярное поле, декартовы координаты, можно представить это поле в виде функции, определенной в области. Если поле задано функцией двух переменных, то оно называется плоским. Эту функцию мы всегда в дальнейшем будем предполагать непрерывной и имеющей непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным. Можно добавить, что величина, характеризующая скалярное поле, может зависеть не только от координат точки, но также и от времени. Однако мы ограничимся рассмотрением лишь таких полей, гдене зависит от времени. Такие поля называютсястационарными. Примерами скалярных полей могут служить: 1) поле температур некоторого нагретого тела (в каждой точке этого телазадана соответствующая температура),2) потенциал электростатического поля задается формулой

,

где - заряд, а- расстояние от произвольной точкидо заряда, помещенного в начало координат,3) поле давлений, 4) поле плотности вещества и др. Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – множества точек пространства, в которых функция принимает постоянное значение: – уравнение различных поверхностей уровня при различных значениях. В плоском поле– уравнениелиний уровня. С помощью линий уровня обычно изображаются рельеф местности на топографических картах, а именно, на них проводятся линии, состоящие из точек, имеющих одну и ту же высоту над уровнем моря (эти линии называются горизонталями). Распределение температур, давления, количества осадков и т.п. обычно также изображаются на специальных картах с помощью соответствующих линий уровня (они называются изотермами в случае поля температур или изобарами в случае поля давления). Пример 1. Построить поверхности уровня потенциала электростатического поля .Решение. Так как , то поверхности уровня будут задаваться так:

или ,

где - некоторое положительное число, при этом для электростатического поля зарядесть величина постоянная. Возведем в квадрат обе части последнего равенства и получим уравнение сферы с центром в начале координати переменным радиусом:

.

Значит, поверхностями уровня электростатического поля будет семейство концентрических сфер с центром в точке, где находится заряд .

При изучении скалярного поля методами анализа мы должны в первую очередь описать его локальные свойства, т.е. изменение величины при переходе от данной точкик близким точкам. Для этого используют понятие производной по направлению. Пусть скалярное полеопределено в области. Зафиксируем точкуи выберем некоторое направление, определяемое вектором; если существует предел, то его называютпроизводной функции по направлению в заданной точке, где,,. Пусть скалярная функциядифференцируема в точке. Производную функциив точкепо направлению векторавычисляют по формуле

,

где – направляющие косинусы вектора. Производная поля в данной точкепо направлениюхарактеризует скорость изменения поля в этом направлении.Пример 2. Найти производную скалярного поля в точкев направлении вектора.Решение. Для нахождения производной по направлению будем использовать формулу Найдем частные производные заданной функции: . Вычислим значения частных производных в заданной точке, т.е. при,и:. Найдем значения направляющих косинусов:, поэтому. Подставим все найденные величины в расчетную формулу для производной по направлению и получим:.Ответ:. Можно установить, что по направлению, касательному к поверхности уровня, производная от заданной функции равна нулю. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть кривую, лежащую на поверхности уровня. Вдоль такой кривой приращение функции равно нулю , т.к. на поверхности уровня значения функции постоянны. Поэтому.Определение. Градиентом скалярного поля в точке называется вектор

Между производной поля по направлениюи градиентом в точкесуществует следующая связь:

,

где - орт вектора, т.е. единичный вектор, сонаправленный с вектором. Из этого равенства следует, что в каждой точке, не являющейся критической, градиент направлен в сторону максимального возрастания поля, а модуль градиента равен величине скорости этого возрастания:

.

Свойства градиента. 1) , т.е. градиент алгебраической суммы скалярных полейиесть сумма градиентов указанных полей. Это свойство непосредственно вытекает из определения градиента, т.к. производная суммы равна сумме производных.2) Градиент произведения скалярных полей . В правой части последнего равенства стоит сумма векторов, гдеи- скалярные множители.3) , где- постоянное произвольное число, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак градиента.4) Градиент частного скалярных полей .5) Градиент сложной функции . В правых частях всех свойств знакииобозначают сложение и вычитание векторов, а знак произведения - есть произведение вектора на скаляр.Пример 3. Найти градиент потенциала электростатического поля, образованного точечным зарядом, помещенным в начало координат:

, где .

Решение. Для нахождения градиента будем использовать формулу . Найдем проекции градиента, т.е. частные производные скалярного поля:. Аналогично можно найти . Поэтому искомый градиент будет равен: , гдеесть радиус-вектор произвольной точки пространства. Знак "минус" говорит о том, что градиент потенциала электростатического поля направлен противоположно радиус-вектору произвольной точки поля. Т.к. поверхностями уровня поляявляются концентрические сферы, а нормаль сферы совпадает с ее радиусом, то градиентнаправлен по радиусу сферы к ее центру.

Вопрос. Максимальное значение производной по направлению скалярного поля в точкеравно