Билет№4

18.Блочный шифр простой замены шифр Хила.

Основная слабость шифра простой однобуквенной замены состоит в том, что избыточность открытого текста, полностью проникающая в шифрованный текст, делает очень рельефной диаграмму повторяемости знаков криптограммы. Это привело в свое время криптографов к устранению этой слабости за счет увеличения числа шифр-величин. Чем больше разница между числом шифр-величин и числом букв алфавита, тем более равномерной должна быть диаграмма повторяемости знаков шифрованного текста.

Первым естественным шагом в этом направлении стало увеличение значности шифр-величин, т.е. использование блочных шифров простой замены. Простейший блочных шифр оперирует с биграмными шифр-величинами. Одним их первых таких шифров были шифры Плейфера и Порта.

Пример шифра Плейфера.

Основой шифра Плейфера является прямоугольная таблица, в которой записан систематически перемешанных алфавит. Правило зашифрования состоит в следующем. Буквы биграммы (является шифр-величиной) находится в данной таблице. При зашифровании биграммазаменяется биграммой, гдеиопределяются в соответствии с правилами 1-3.

1. Если ине лежат в одной строке или в одном столбце, то их позиция образуют противоположные вершины прямоугольника. Тогдаидругая пара вершин, причем- вершина, лежащая в той же строке и.

2. Если илежат в одной строке, тоибуквы той же строки, расположенные непосредственно справа отисоответственно. При этом, если одна из букв последняя в строке, то считается, что ее правым соседом является первая буква той же строки.

3. Если илежат в одном столбце, то они заменяются их соседями снизу.

При зашифровании открытый текст представляется в виде последовательности биграмм. Если текст имеет нечетную длину или содержит биграмму, состоящую из одинаковых букв, то в него добавляются «пустышки» следующим образом. «Пустышка» является некоторое редкое для данного типа текста буква (или знак), которая вставляется между одинаковыми буквами биграммы, или добавляются в текст для того, чтобы его длина была четной. Такие изменения открытого текста как правило не мешают при расшифровании.

Пример.

Пусть шифр использует прямоугольник 5х6, в котором записан систематически перемешанный русский 32—х буквенный алфавит на основе ключевого слова «Командир».

К	О	М	А	Н	Д
И	Р	Б	В	Г	Е
Ж	З	Л	П	С	Т
У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш
Щ	Ь	Ы	Э	Ю	Я

ОТ: Авторомф метода является Уитсонф

Пустышка – ф.

ШТ: «впсдзрох дбздкн эетытштю щжжтсдоч.»

Криптоанализ шифра Плейфера опирается на частотный анализ биграмм, треграмм, четырехграмм в шифрованном тексте и особенности замены шифр величин на шифр-обозначения, связанные с расположением алфавита в прямоугольнике. При этом существующую информацию о заменах дает знание того, что используется систематически перемешанных алфавит. Шифр-величины для другого широкоизвестного шифра Хилла является n-граммы открытого текста (n>=2), представленного некоторым числовым кодом так, что алфавитом открытого текста служит кольцо вычетов по модулю мощности алфавита.

Правило зашифрования представляет собой линейное преобразование кольца :

если -n-грамма открытого текста,- некоторая обратная матрица надZ(ключ) и-n-грамма шифрованного текста, тосоответственногде- матрица, обратная для матрицыk.

Рассмотрим пример шифра Хилла.

Положим n=4 и зашифруем фразу:

БЕЗ ТРУДА НЕ ВЫНЕШЬ РЫБКУ ИЗ ПРУДА,

записанную в 30-ти буквенном расширенном алфавите. Кодирование букв производится в соответствии с таблицей.

З	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	И	К	Л	М	Н	О	П
5	1	18	11	6	0	15	20	21	23	13	4	16	8	25

Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Э	Ю	Я
24	10	19	26	12	2	28	7	17	22	3	29	27	14	9

В качестве ключа выбираем следующую матрицу, являющуюся обратимой над кольцом .

Обратная матрица имеет вид:

Находим. Определяем миноры

;.

.

Запишем открытый текст по столбцам матрицы T.

Получили шифрованный текст в виде столбцов матрицы.

ШТ: токц жишш еюыс тщчр бвсц ьцтр жишш.

Замечание: из соображений удобства наиболее широкое распространение получили шифры, для которых правило зашифрования и расшифрования идентичны, такие шифры называются обратимыми.

Шифр Хилла является обратимым в том и только в том случае, если формула или, где Е – единичная матрица.

Матрица, удовлетворяющая свойству обратимости, называется инволютивной.

Теорема. Квадратная матрица М над кольцом обратима тогда и только тогда, когда выполняется это условие – ()=1, т.е. определитель матрицы М взаимопрост с множеством кольцаZ.

Заметим, что правило зашифрования , где матрицав шифр-системе Хилла является обратимым линейным преобразованиемn-мерного модуля кольца. Такая функция является лишь одним из примеров простого задания обратимого преобразованияявляется очевидной биекцией на множестве кольца. Любая такая биекция потенциально может рассматриваться как правило зашифрования блочного шифра простой замены (еслиn– размер блока), выбираемого некоторым ключом.

Замечание: можно проверить, что имеется всего 24 обратимых преобразований , причем все они являются аффинными для любогоони имеют вид, где А – некоторое обратимое 2х2 матрица над кольцоми. Естественным обобщением шифра Хилла является обычный аффинный блочный шифр, правило зашифрования которого определяется правилом (1). При этом А является обратимой матрицейnxn, афиксированнымn-мерным вектором над кольцом.