Формулы полной вероятности и Бейеса
.docxФормула полной вероятности
Пусть
событие 
может
наступить или не наступить вместе с
одним из событий 
, образующих
полную
группу несовместных событий. Данные
события 
называются гипотезами, вероятности
которых
известны, а также известны условные
вероятности события 
при
осуществлении каждой из гипотез.
Тогда
вероятность события 
можно
вычислить по формуле:
(21)
которая
называется формулой
полной вероятности.
Пример
28. В
группе 3 отличника, 12 хорошистов и 9
троечников. Вероятность сдать экзамен
на пять для
отличника равна 0,9; для
хорошиста - 0,5; для троечника - 0,2. Найти
вероятность того, что наудачу
выбранный
студент сдаст экзамен на
пять.
Решение. Пусть 
={
студент сдаст экзамен на пять}, тогда
можно выдвинуть следующие
гипотезы:
={выбранный
студент - отличник}, 
={выбранный
студент - хорошист}, 
={выбранный
студент -
троечник}. Вероятности этих
гипотез можно вычислить, используя
классическое определение
вероятности,
испытанию - выбору
студента- соответствует 24 исхода, число
исходов, благоприятствующих каждой
гипотезе,
равно соответствующему
количеству студентов, тогда
,
условные
вероятности события 
по
отношению к каждой гипотезе соответственно
равны
.
Теперь
по формуле (21) получаем
.
Вопрос. В
1-ом ящике 10 белых и 8 черных шаров, во
2-ом ящике - 9 белых и 6 черных шаров. Из
наудачу
выбранного ящика берут 4 шара.
Событие 
={все
шары белые}. Какие гипотезы можно
выдвинуть?
О
составе шаров в ящиках
О
составе извлеченных шаров
Из
какого ящика взяли шары
Формула Бейеса
Пусть
имеется полная группа несовместных
событий 
(гипотез),
вероятности которых известны.
Производится
испытание, в результате которого
осуществляется событие 
.
Условные вероятности данного
события
по отношению к каждой гипотезе тоже
известны. В этом случае можно пересчитать
вероятности гипотез
в связи появлением
события 
,
вычислить их можно по формуле:
(22)
которая
называется формулой Бейеса ( или
Байеса).
Пример
29. На
складе находятся детали, изготовленные
на двух заводах. Известно, что объем
продукции
первого завода в 4 раза
превышает объем продукции второго
завода. Вероятность брака на первом
заводе 0,05;
на втором- 0,01. Наудачу взятая
деталь оказалась бракованной. Найти
вероятность того, что она изготовлена
на
первом заводе.
Решение. Обозначим
событие 
={деталь
бракованная}, 
={деталь
изготовлена на i-ом заводе}, где i=1,2.
.
По условию 
,
тогда
по формуле (22) находим 
.
Вопрос. Чему
равна сумма вероятностей гипотез?
заранее
не известно
0,5
1
0