Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Числовые характеристики случайных величин.docx
Скачиваний:
66
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
295.53 Кб
Скачать

Математическое ожидание случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач нет необходимости приводить весь закон распределения случайной  величины, достаточно указать некоторые величины, называемые числовыми характеристиками, назначение которых - это выражение наиболее существенных особенностей распределения. Для каждой случайной величины необходимо знать некоторое среднее значение, около которого группируются ее возможные значения, число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего, а также некоторые другие числовые характеристики. Одной из таких характеристик является математическое ожидание случайной величины. Определение 6. Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины. Математическое ожидание случайной величины  обозначается  или . Если случайная величина  - дискретная и принимает конечное число значений, то 

 (8)

Если случайная величина  - дискретная и принимает бесконечное, но счетное число значений, то 

 (9)

Если случайная величина  - непрерывная и принимает значения на конечном промежутке , то

 (10)

Если случайная величина  - непрерывная и принимает значения на всей числовой оси, то

 (11) 

Встречаются случайные величины, для которых математическое ожидание не существует, так как ряд (9) или  интеграл (11) расходятся, но такие случайные величины встречаются редко.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание константы равно этой константе: ; 2. ; 3. ; 4. Определение 7. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Если случайные величины  и  независимы, то  ; 5. =0. Пример 9. Дан ряд распределения дискретной случайной величины :

2

4

0,2

0,4

0,4

Известно, что математическое ожидание . Найти . Решение. Так как дискретная случайная величина принимает конечное число значений, воспользуемся формулой (8), получим уравнение: , из которого находим . Пример 10. Закон распределения непрерывной случайной величины  задан с помощью плотности распределения: Найти математическое ожидание данной случайной величины. Решение. Так как непрерывная случайная величина принимает значения на конечном промежутке, то для  вычисления математического ожидания воспользуемся формулой (10), получаем: . Вопрос. Случайная величина  принимает только отрицательные значения. Тогда  равно: а) 0; б) 1; в) отрицательному числу; г) числу из отрезка .

в)

а)

г)

б)

Мода и медиана случайной величины

Определение 8. Модой дискретной случайной величины  называется ее значение ,  имеющее наибольшую вероятность.

 (13)

Графическим представлением закона распределения дискретной случайной величины является многоугольник распределения, тогда мода - это точка, имеющая наибольшую ординату.

Рис.7

Определение 9. Модой непрерывной случайной величины называется точка локального максимума плотности распределения.

 (14)

Рис.8

Мода может не существовать, может иметь единственное значение( тогда распределение случайной величины называется унимодальным), может иметь множество значений( в этом случае распределение называется мультимодальным).

Определение 10. Медианой случайной величины  называется такое ее значение , относительно которого равновероятны получение большего и получение меньшего значения. Если  - дискретная случайная величина, то  - это число на отрезке , для которого

 (15)

Отрезок  называется медианным.

Если - непрерывная случайная величина, то 

 (16)

то есть медиана - это корень уравнения:

 (17)

Графически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам.

Рис.9

Если распределение унимодальное и симметричное, то математическое ожидание, мода и медиана случайной величины совпадают. Пример 11. Дан ряд распределения дискретной случайной величины :

2

4

6

8

0,4

0,2

0,1

0,3

Найти моду и медиану случайной величины. Решение. Наибольшую вероятность имеет значение , поэтому . Так как , а , то медианным отрезком является отрезок , тогда медианой является любое число из этого отрезка. Пример 12. Закон распределения непрерывной случайной величины  задан плотностью распределения:

Найти моду и медиану случайной величины. Решение. Кривой распределения является парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому она имеет точку  максимума, найдем ее, для этого вычислим производную функции  : . Точка максимума является корнем уравнения , получаем уравнение , из которого находим . Так как парабола симметрична относительно прямой, проходящей через точку , параллельно оси ординат, то распределение - симметричное, поэтому .

Рис.10

Вопрос. Непрерывная случайная величина принимает значения на отрезке , распределение симметричное, . Тогда .

верно

неверно