Принцип сжимающих отображений

Теоретические основы метода

В основе приближённых методов решения уравнений и систем уравнений лежит идея построения сходящейся последовательности , пределом которой является искомое решение СЛАУ или или уравнения . Этот приём, называемый методом последовательных приближений или итерационным методом может быть применён к решению и других уравнений и систем уравнений (дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и т.д.). Естественно, применение метода последовательных приближений возможно при определённых условиях. Эти условия можно получать отдельно для каждого класса уравнений и систем уравнений, а можно сформулировать в общем случае, сводя все классы уравнений к операторному уравнению .

Как известно, для решения СЛАУ методом итераций эта система преобразуется с помощью равносильных преобразований к виду , где – матрица размера .

Рассмотрим оператор , действующий в полном метрическом пространстве .

Определение 1. Оператор называется оператором сжатия (сжимающим оператором), если существует такое, что для любых

.

Выясним условия, при которых оператор является сжимающим.

Пусть – одна из метрик пространства . Матричную норму определим как

.

Здесь – выбранная векторная норма в пространстве . Найдём условия сжатия для оператора .

.

В соответствии с определением 1 оператор будет сжимающим, если норма матрицы удовлетворяет условию: . В частности, в метрике пространства это условие принимает вид

, ;

в метрике :

, ;

в евклидовой метрике : .

Рассмотрим теперь условия существования и единственности решения операторного уравнения в полном метрическом пространстве.

Определение 2. Пусть , – полное метрическое пространство. Точка называется неподвижной точкой оператора , если

.

Имеет место следующая

Теорема 1. Сжимающий оператор , действующий в полном метрическом пространстве , имеет единственную неподвижную точку .

Доказательство. Возьмём произвольный вектор – нулевое приближение. Построим последовательность :

, .

Покажем, что построенная последовательность

а) сходится;

б) сходится к неподвижной точке оператора ;

в) решение операторного уравнения единственно.

Поскольку – полное метрическое пространство, то достаточно показать, что построенная последовательность является фундаментальной, т.е.

Из определения 1 и определения 2 следует что

.

Используя неравенство треугольника , получаем

.

Поскольку и потому , то получаем окончательно

.

Из следует, что для любого можно найти , что . Таким образом, последовательность сходится.

Покажем теперь, что – неподвижная точка оператора , т.е. .

Используя неравенство треугольника и условия сжатия, получаем

.

Поскольку существует , то по определению : и потому имеем окончательно неравенство

.

Это неравенство должно выполняться для любого (сколь угодно малого), поэтому и .

Единственность неподвижной точки доказывается достаточно легко методом от противного.

Таким образом, сжимающий оператор в полном метрическом пространстве имеет единственную неподвижную точку.

Комментарии к теореме 1

( Банаха)

1. Из формулы

можно получить оценку точности -го приближения к истинному решению операторного уравнения. Переходя в приведённом неравенстве к пределу при и учитывая, что ,

2. Итерационная последовательность сходится к неподвижной точке оператора для любой начальной точки . Выбор точки влияет на скорость сходимости. Поэтому ошибка, допущенная в вычислениях на некоторой итерации, может интерпретироваться как выбор новой начальной точки . Метод последовательных приближений в этом смысле «самоисправляющийся».

3.2. Приложения принципа сжимающих отображений

Метод последовательных приближений, тесно связанный с принципом сжимающих отображений, является одним из наиболее эффективных и часто используемых на практике приближённых методов решения задач из самых различных разделов математики. Общая схема решения уравнений и систем уравнений вида ( – для СЛАУ , , – для системы нелинейных в общем случае уравнений и т.д.) заключается в

1) приведения уравнения к равносильному виду ;

2) проверке условий сходимости итерационной последовательности;

3) вычислении значений , ;

4) определении номера шага итерационного процесса, на котором его можно остановить (если достигнута требуемая точность).

Приближённое решение уравнений

методом итераций

В соответствии с общей схемой решения уравнений вида методом последовательных приближений:

1) приводим уравнение с помощью равносильных преобразований к виду ;

2) проверяем выполнение условий сходимости итерационной последовательности , .

Установим эти условия. Роль оператора в данном случае играет функция , которая задаёт отображение: .

Поскольку функция действует в полном метрическом пространстве (с метрикой ), то для сходимости итерационной последовательности достаточно, чтобы функция удовлетворяла условиям сжатия. Это означает, что должно существовать число :

,

для любых , из промежутка , содержащего неподвижную точку функции .

Пусть функция дифференцируема на указанном отрезке . Тогда к ней можно применить теорему Лагранжа:

,

где . Заключаем, что функция будет удовлетворять условиям сжатия, если существует такое, что

для всех из интервала . При этом для -го приближения справедлива оценка приближения к неподвижной точке

.

На практике более удобной часто оказывается формула

.

Теорема 2 .Если , , то интегральное уравнение имеет единственное решение при любом конечном .

Здесь .

В рассматриваемом примере , – непрерывные функции в заданных областях. Поэтому решение уравнения существует и единственно. Найдём его методом последовательных приближений.

Положим . Далее , получаем

,

,

,

.

Легко видеть, что – это отрезок ряда Тейлора в окрестности нуля функции . Значит – искомое решение исходного интегрального уравнения.

Действительно,

.

Ответ: , , .