Одна итерация метода
3. Растяжение. Если |
, то вычисляем точку |
растяжения xe, |
|
Вычисляем . Если , то добавляем эту точку в набор и переходим к новой итерации. В противном случае (
) добавляем
в набор точку xr.
Итерация закончена.
Одна итерация метода
• 4. Сжатие. Если |
, то проводим |
|
операцию сжатия между |
и лучшей |
|
точкой из |
и : |
|
•Внешнее. Если 
, то есть 
существенно лучше
, то проводим внешнее сжатие:
•Вычисляем 
и добавляем в
набор, если |
. Переходим к (п.5) |
Одна итерация метода
• 4. Сжатие.
• Внутреннее. Если |
, то проводим |
внутреннее сжатие: |
|
• Вычисляем |
и добавляем точку |
в |
набор, если |
.Переходим к глобальному |
|
сжатию (п.5) |
|
|
Одна итерация метода
• 5. Глобальное сжатие.
• Вычисляем значения функции f(x) в n точках
• 
. Новыми вершинами являются точки
Nelder and Mead’s Method
Отражение и растяжение
Nelder and Mead’s Method
Внешнее, внутреннее и глобальное сжатие
Simplex Steps
Reflection
Contraction
Expansion
Limitations
An interesting open problem concerns whether there exists any function f(x) in R2 for which the Nelder-Mead algorithm always converges to a minimizer. The natural candidate is f(x; y) = x2 + y2, which by ane-invariance is equivalent to all strictly convex quadratic functions in two dimensions. A complete analysis of Nelder-Mead for x2 + y2 remains an open problem.
Applications
•function Func(X : TeVector) : Extended;
• |
begin |
• |
result := sqr(x[1]-1)+sqr(x[2]-1)+sqr(x[3]-1); |
• |
end; |
•procedure TForm1.btCalculateClick(Sender: TObject);
• |
var |
• |
X : TeVector; MaxIter, Iter: integer; F_min : extended; |
• |
begin |
•setlength(x, 4);
•MaxIter:= 1500; // максимальное число итераций
• |
x[1] := -0.1; |
// начальное приближение |
• |
x[2] := 1.1; |
|
• |
x[3] := 2.1; |
|
•Simplex(Func, X, 1, 3, MaxIter, 1.e-14, F_min, Iter, 0.1, 1.0e-8, nil, 0, '');
•Label1.Caption := floattostr(x[1])+'; '+floattostr(x[2])+'; '+floattostr(x[3]);
•Label2.Caption := Inttostr(Iter)+'; ';
•x := nil;
•end;
|
function Simplex |
• |
function Simplex(Func: TFuncNVar; X: TeVector; Lbound, Ubound: Integer; |
• |
MaxIter: Integer; Tol: Extended; |
• |
var F_min: Extended; var Iter: Integer{Iteration count}; |
• |
Step: Extended; {для задания начального многогранника: скорее процент от текущей координаты} |
• |
ZeroCoordinateValue: Extended; {ноль, при котором шаг следует брать специфическим} |
• |
SB: TStatusBar; PanelN: Integer; PrefixStr: string): Integer; |
• |
{ ---------------------------------------------------------------------- |
•Minimization of a function of several
variables by the simplex method
•of Nelder and Mead
• ----------------------------------------------------------------------
• |
Input parameters |
: Func = objective function |
• |
X |
= initial minimum coordinates |
• |
Lbound, |
|
• |
Ubound = indices of first and last variables |
|
• |
MaxIter = maximum number of iterations |
|
• |
Tol |
= required precision |
• |
Step |
= Step used to construct the initial simplex ~ 1.5 |
• |
---------------------------------------------------------------------- |
|
• |
Output parameters : X = refined minimum coordinates |
|
• |
F_min = function value at minimum |
|
•Possible results : OPT_OK
• |
OPT_NON_CONV |
• |
---------------------------------------------------------------------- } |