Формула Шермана-Моррисона-Вудбери
xi 1 xi (H I ) 1 f (xi )
•This identity is useful in certain numerical computations where A−1 has already been computed and it is desired to compute (A + UCV) −1. With the inverse of A available, it is only necessary to find the
inverse of C−1 + VA−1U in order to obtain the result using the right- hand side of the identity. If C has a much smaller dimension than A, this is more efficient than inverting A + UCV directly.
•This is applied, e.g., in the Kalman filter and recursive least squares methods, to replace the parametric solution, requiring inversion of a state vector sized matrix, with a condition equations based solution.
•In case of the Kalman filter this matrix has the dimensions of the vector of observations, i.e., as small as 1 in case only one new observation is processed at a time. This significantly speeds up the often real time calculations of the filter.
7/1/19 |
11 |
Метод Левенберга—Марквардта
Ключевой момент был замечен Марквардтом. Он заменил единичную матрицу в формуле на диагональ гессиана, получив таким образом следующее правило:
xi 1 xi (H diag[H ]) 1 f (xi )
Matrix inversion plays a significant role in computer graphics, particularly in 3D graphics rendering and 3D simulations. Examples include screen-to-world ray casting, world-to-subspace-to-world object transformations, and physical simulations.
7/1/19 |
12 |
Примеры задач
Конструирование ящика.
Задача оптимизации часто заключается в отыскании конструктивных параметров, при которых целевая функция достигает минимума.
Рассмотрим задачу создания ящика прямоугольной формы,
площадь боковой поверхности которого минимальна при заданном объеме сосуда
900 ; 900 ; x1 a; x2 b; x3 c;
•Такая конструкция минимизирует, например, потери тепла.
•Ящик открытый (без крышки).
7/1/19 |
13 |
Примеры задач
Конструирование (открытого) ящика.
Объем и площадь поверхности вычисляются по формулам
Vx1x2 x3 ; S 2x1x2 2x1x3 x2 x3.
изадача может быть сформулирована так:
Минимизировать
|
S 2x1x2 2x1x3 x2 x3 |
при условии, что |
x1x2 x3 V *. |
Это задача оптимизации с тремя искомыми параметрами и |
|
ограничении – равенстве. |
|
Однако задачу можно слегка упростить, заметив, что |
|
условие ограничения объема позволяет исключить один |
|
параметр: |
x3 V * x1 1x2 1 |
7/1/19 |
14 |
Примеры задач
Конструирование (открытого) ящика.
Теперь задача может быть переформулирована в виде задачи без ограничений:
Минимизировать
S 2x1x2 2V * x2 1 V * x1 1.
Это задача безусловной минимизации с двумя искомыми параметрами.
Оптимальное решение исходной задачи может быть получено и в том, и в другом случае.
Правда, надо отметить, что в исходной постановке задачи мы не учли тот факт, что отрицательные искомые параметры не имеют практического смысла.
7/1/19 |
15 |
Примеры задач
Конструирование (открытого) ящика.
Формулировка задачи должна содержать условие положительности переменных, что приводит к введению ограничений – неравенств.
Минимизировать
S 2x1x2 2x1x3 x2 x3 ,
s.t. (subject to) x1x2 x3 V*, xi 0,i 1, 2,3.
или
S 2x1x2 2V * x2 1 V * x1 1 s.t. (subject to), xi 0,i 1,2.
7/1/19 |
16 |
Примеры задач
Конструирование (открытого) ящика.
В том случае, когда формулировка кажется сложной, можно пойти на некоторое упрощение исходных условий. Предположим, что можно ограничиться рассмотрением ящиков с квадратным дном, то есть добавить условие x2 x3 .
Объем и площадь поверхности вычисляются по формулам
V x1x22 , S 4x1x2 x22 .
Задача минимизации (функции одной переменной) теперь выглядит так:
Минимизировать |
S 4V * x 1 |
x2 . |
|
2 |
2 |
s.t. (subject to), x2 0.
7/1/19 |
17 |
Примеры задач
• Площадь как функция от |
x2 при заданном объеме |
V * 5 . |
|
Минимум достигается при |
x2 |
2.2 |
|
7/1/19 |
|
|
18 |
Литература
1.M. Bartholomew-Biggs, Nonlinear Optimization with Engineering Applications, Springer Science+Business Media, LLC 2008
2.Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri. Numerical mathematics. 2000, Springer-Verlag New York, Inc.
7/1/19 |
19 |