В. Ни одна из концевых вершин не принадлежит ни одному из сформированных букетов. Если имеет место такой случай, то необходимо окрасить ребро в синий цвет и сформировать новый букет из его концевых вершин.

Г. Концевые вершины выбранного ребра принадлежат различным букетам. В этом случае необходимо окрасить выбранное ребро в синий цвет, а оба букета, которым принадлежат его концевые вершины, слить в один новый букет.

Шаг 3. Если все вершины графа вошли в один букет, закончить процедуру, так как при этом условии голубые ребра образуют покрывающее дерево. В противном случае вернуться к началу шага 2.

Пример 10.1.

В таблице показаны этапы построения покрывающего дерева. Ребра графа рассматриваются в следующем произвольно выбран-

ном порядке: (a,b), (d,e), (a,d), (b,e), (e,c), (c,b), (a,c) и (с,d). Алго-

ритм заканчивается просмотром ребра (e,c), поскольку после этого вершины рассматриваемого графа попадают в один букет. Четыре голубых ребра (a,b), (d,e), (a,d) и (e,c) образуют для данного графа покрывающее дерево (на рисунке ребра этого дерева выделены).

Рассмотренный алгоритм не учитывает веса ребер. Для решения задачи о слухах и аналогичных ей это и не нужно, так как в этом случае достаточно ответить на вопрос, связен граф или нет. К вопросу связности орграфов мы вернемся в лекции 14.

Лекция 11. Поиск на графах : алгоритмы поиска в глубину и в ширину.

При решении прикладных задач часто возникает необходимость обхода вершин графа, связанная с поиском вершин, удовлетворяющих определенным свойствам. Например, необходимо от-

39

ветить на вопрос: достижима ли вершина d из вершины v, то есть, существует ли путь из v в d. Если исходный граф неориентированный, то для ответа на данный вопрос достаточно определить принадлежат ли вершины v и d одному компоненту связности. Выделить связные компоненты можно с помощью алгоритма Краскала. Если после завершения работы алгоритма Краскала вершины v и d принадлежат разным деревьям покрывающего леса (разным букетам – в терминах, используемых при формулировке алгоритма Краскала), то пути из вершины v в вершину d не существует, в противном случае путь существует.

Для ориентированного графа такой алгоритм непригоден. Для ответа на вопрос достижима ли вершина d из вершины v, необходимо организовать обход вершин графа, начиная из вершины v. Если во время обхода мы встретим вершину d, следовательно, вершина d достижима из вершины v, в противном случае d из v не достижима.

Существует два способа организации обхода: поиск в глубину и поиск в ширину. Просмотр всех вершин графа G=(V,E), V={v1,…,vn} осуществляется так, что каждая вершина рассматривается один раз.

Поиск в глубину

Обозначения: new[1..n] - массив булевых переменных,

true,еслиv непросматривалась, new[ v ] =

false,еслиv просматривалась;

U[1…n] -массив указателей на списки инцидентности вершин графа;

stack -стек (LIFO - last-in-first-out) емкости n.

Алгоритм поиска в глубину (в круглых скобках даны комментарии).

procedure DFS[v]- процедура поиска в глубину (depth first search), начиная с вершины v.

begin

stack:=0; stack ←v; рассмотреть v; new[v]:=false;

while stack ≠ 0 do begin

t:= top(stack); (верхний элемент стека) if U[t]=nil then b:=false

40

else b:=not new [U[t]↑.dat]; while b do

begin U[t]:=U[t]↑.next;

if U[t]=nil then b:=false

else b:=not new [U[t]↑.dat]

end;

if U[t]≠nil then (найдена новая нерассмотренная вершина)

begin

w:=U[t]↑.dat; stack ←w; рассмотреть w; new[w]:=false

end;

else (вершина t рассмотрена)

t←stack (удалить верхний элемент стека)

end

end

Пояснение к алгоритму. Начинаем из вершины v. Пусть на некотором шаге мы попали в вершину u. Идем далее из вершины u в вершину w, смежную с u. Если w уже рассматривалась, то возвращаемся в u и идем в другую смежную с ней вершину. Если же w еще не рассматривалась, то применяем к ней описанную выше процедуру. Процесс завершается при попытке вернуться назад из начальной вершины v.

Пример 11.1. Пояснения к алгоритму будем давать на примере графа, изображенного на рисунке.

41

Массив U указателей для этого графа будет иметь вид

На каждом шаге содержимое стека (массив stack) указывает маршрут от исходной вершины до рассматриваемой.

42

Замечание. Перечеркивание вершины на рисунке обозначает удаление соответствующей вершины из стека (это происходит в случае, когда в стек попадает уже рассмотренная ранее вершина).

Ниже приведено содержимое массива new. Верхняя строка дает исходное состояние. В нижней строке указан порядок изменения состояния элементов массива (ср. с рисунком графа).

Поиск в ширину в графе

Вместо стека в данном алгоритме используется очередь. Обозначения: prev[1..n] - вспомогательный массив;

queue - очередь (FIFO - first-in-first-out) емкости n.

Алгоритм поиска в ширину (в круглых скобках даны комментарии).

procedure BFS(v)- процедура поиска в ширину (breadth first search), начиная с вершины v

begin

queue:=0; queue←v; new[v]:=false; while queue≠0 do

begin

p←queue; (извлечь из очереди вершину), рассмотреть p; while U[p}≠nil do

begin

if new [U[p]↑.dat] then begin

queue←U[p]↑.dat; new[U[p]↑.dat]:=false; prev[U[p]↑.dat]:=p;

end; U[p]:=U[p]↑.next;

end;

end;

end;

43

Ниже на рисунке указан порядок прохождения вершин при поиске в ширину для графа из примера 11.1, а также приведено содержимое массивов queue, new, и prev .

Замечание. Содержимое prev[u] содержит вершину, из которой мы попали в u. Таким образом, мы имеем возможность определить кратчайший путь от начальной до нужной вершины.

Алгоритмы поиска в глубину и в ширину могут быть легко модифицированы для поиска компонентов связности графа, а также для нахождения покрывающего дерева графа. Ниже приведена процедура построения покрывающего дерева графа G=(V,E), V={v1,…,vn}, основанная на алгоритме поиска в глубину. Используем ранее введенные обозначения и пусть T - массив ветвей искомого дерева.

procedure WGD[v]- процедура поиска покрывающего дерева графа методом поиска в глубину (depth first search), начиная с вершины v.

begin

stack:=0; stack ←v; T:=0; new[v]:=false;

while stack ≠ 0 do

44

begin

t:= top(stack);

if U[t]=nil then b:=false

else b:=not new [U[t]↑.dat]; while b do

begin U[t]:=U[t]↑.next;

if U[t]=nil then b:=false

else b:=not new [U[t]↑.dat]

end;

if U[t]:≠nil then begin

w:=U[t]↑.dat; stack ←w; T:=Т {t,w}; new[w]:=false

end;

else t←stack

end

end

Пример 11.2. Порядок прохождения вершин при построении покрывающего дерева графа (ветви дерева выделены).

Лекция 12. Эйлеровы графы. Алгоритм поиска эйлерова цикла в графе.

Начало теории графов как раздела математики связывают с так называемой задачей о кенигсбергских мостах.

Задача. Город Кенигсберг (Калининград) был построен на берегах и двух островах реки Преголи. В городе было семь мостов, которые соединяли острова между собой и с береговыми частями города (рис. 12.1). Можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому мосту только один раз? Сопоставим рисунку граф (рис. 12.2), вершины которого соответствуют четырем разде-

45

ляемым рекой участкам суши A,B,C,D, а ребра – мостам.

C

Таким образом, задачу о кенигсбергских мостах можно на языке теории графов сформулировать следующим образом: есть ли в графе на рис. 12.2 цикл, содержащий все ребра графа? Эйлер доказал неразрешимость этой задачи.

Определение. Цикл в графе называется эйлеровым, если он содержит все ребра графа.

Определение. Связный граф, в котором есть эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.

Примеры эйлеровых графов.

Теорема. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

Доказательство.

Необходимость. Пусть G - эйлеров граф. Эйлеров цикл этого графа, проходя через каждую вершину графа, входит в нее по одному ребру, а выходит по другому. Это означает, что каждая вершина инцидентна четному числу ребер эйлерового цикла, а поскольку такой цикл содержит все ребра графа G, то отсюда следует четность степеней всех его вершин.

Достаточность. Предположим теперь, что степени всех вершин графа G четны. Начнем цепь P1 из произвольной вершины v1 и бу-

46

дем продолжать ее, насколько возможно, выбирая каждый раз новое ребро. Т.к. степени всех вершин четны, попав в очередную, отличную от v1, вершину, мы всегда будем иметь в распоряжении еще не пройденное ребро. Поэтому построение цепи P1 закончится в вершине v1, т.е. P1 будет циклом. Если P1 содержит все ребра графа G, то это и будет требуемый эйлеров цикл. В противном случае, удалив из G все ребра цикла P1, получим граф G1. Т.к. P1 и G имели вершины только четных степеней, то и G1 имеет вершины только четных степеней. В силу связности графа G графы P1 и G1 должны иметь хотя бы одну общую вершину v2. Начиная с вершины v2, построим цикл P2 в графе G1 аналогично построению цикла P1 в графе G. Обозначим через P1’ и P1” части цикла P1 от v1 до v2 и от v2 до v1 соответственно (рис.12.3). Получим новый цикл P3= =P1’ P2 P1”, который, начиная с v1, проходит по ребрам цепи P1’ до v2, затем по всем ребрам цикла P2, и возвращается в v1 по реб-

ла.

На этой идее основан алгоритм нахождения эйлерового цикла в графе.

Обозначения: G=(V,E) - связный граф без вершин нечетной степе-

ни, V={v1,…,vn};

u[v] - список инцидентности для вершины v, u[1..n]; stack - рабочий стек;

res - стек, содержащий последовательность вершин эйлерового цикла.

begin

stack:=0; res:=0;

v:= произвольная вершина графа; stack ← v;

while stack ≠ 0 do begin

v:=top (stack);

if u[v]≠ nil then

47

stack

res

1 2 3 4 5 6 7 2 8 6 9 7 8 5 3 1

Замечание. Эйлеровым путем в графе называется произвольный путь, проходящий через каждое ребро графа точно один раз.

Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более чем две вершины нечетной степени.

49

Эйлеров путь начинается в одной из вершин с нечетной степенью и заканчивается в другой вершине с нечетной степенью.

Лекция 13. Нахождение пути наименьшей длины в графе. Алгоритм Дейкстра.

Пусть G=<V,E> - орграф без петель, V={v1,…,vn}. Каждой дуге <vi,vj> поставлено в соответствие некоторое действительное число wij, wij≥ 0 , называемое весом (или длиной) дуги.

В реальной жизни вес дуги может означать стоимость прокладки линий связи, например, между городами, обозначаемыми вершинами графа, или длину дороги и т.д.

Если дуги <vi,vj> не существует, то wij=∞. Матрица называется матрицей весов.

vi1 ,...,vir - путь в графе G. Тогда

) = wi1i2 +...+ wir−1ir - длина пути.

Часто необходимо находить путь наименьшей длины (кратчайший путь) в орграфе. Примером может служить следующая задача.

Задача. Предположим, что вам необходимо иметь в своем распоряжении автомобиль в течении нескольких лет. Имеется большой выбор автомобилей. Автомобили имеют различные сроки эксплуатации и разную стоимость. Каким образом выбрать вариант покупок автомобилей на заданном временном интервале имеющий минимальную суммарную стоимость покупаемых автомобилей?

Для того, чтобы свести данную задачу к графовой, представим моменты времени возможных сделок на заданном временном ин-

50

тервале, связанных с покупкой автомобиля, вершинами некоторого графа. Для упрощения в качестве моментов времени сделок можно рассматривать лишь первые дни каждого месяца, квартала или другого временного отрезка. Изобразим в данном графе факт приобретения автомобиля дугой, соединяющей вершину, соответствующую моменту покупки, с вершиной, соответствующей моменту окончания срока службы автомобиля. Весом дуги построенного графа является стоимость соответствующей сделки.

Чтобы выбрать вариант с минимальной суммарной стоимостью, необходимо среди всех возможных путей из вершины, соответствующей начальному моменту времени, в вершину, соответствующую конечному моменту времени, найти путь наименьшей длины.

Определение. Путь наименьшей длины между вершинами s и t будем называть расстоянием от s до t и обозначать через D(s,t).

Первый эффективный алгоритм решения задачи нахождения кратчайшего пути в графе между двумя фиксированными вершинами при условии, что все дуги графа имеют неотрицательный вес, предложил в 1959г. Е.Дейкстра.

Идея алгоритма. Нахождение расстояния от s до t начинается с вершины s и ведется методом поиска в ширину.

На каждой итерации алгоритма всякая вершина v графа G имеет метку l(v) , которая может быть постоянной или временной. Если метка l(v) является постоянной, то она равна расстоянию D(s,v) (т.е. кратчайшему пути от s до v). Если же метка l(v) временная, то l(v) - длина кратчайшего пути от s до v, проходящего через вершины с постоянными метками. Таким образом, временная метка l(v) является оценкой сверху для расстояния D(s,v) , и, став на некоторой итерации постоянной, она остается такой до конца работы алгоритма.

Кроме l(v) с каждой вершиной v графа G, за исключением s, связывается еще одна метка - θ(v). На каждой итерации θ(v) является номером вершины, предшествующей v, в пути от s до v, проходящем через вершины с постоянными метками и являющимися кратчайшим среди всех таких путей.

После того, как вершина t получит постоянную метку, с помощью меток θ(v) легко указать последовательность вершин, составляющих кратчайший путь от s до t.

Перед началом первой итерации алгоритма вершина s имеет постоянную метку l(s)=0, а метки l всех остальных вершин равны

51

∞ и являются временными. Общая итерация алгоритма состоит в следующем. Пусть p - вершина, получившая постоянную метку l(p) на предыдущей итерации. Просматриваем все вершины с временными метками, в которые идут дуги из p, (обозначим эти вершины Г(p) ) с целью уменьшения этих меток, если это возможно. Метка l(v) вершины v Г(p) заменяется на l( p ) + wp ,v , если

l(v)>l(p)+wp,v. В этом случае говорим, что вершина v получила свою метку l(v) из вершины p и полагаем θ(v)=p. Если же l(v)≤ l(p)+wp,v , то метки θ(v) и l(v) не изменяются на данной итерации. Просматриваем все v Г(p) и для вершины u Г(p) такой, что

l( p,u) = min l( p,v) считаем l( p,u) постоянной меткой. Алгоритм

v Г(p)

заканчивает работу, когда метка l(t) становится постоянной. Обозначения: last - последняя помеченная вершина;

true,еслиv имеетпостояннуюметку, fin( v ) =

false,еслиv имеетвременнуюметку;

u[v] - список инцидентов для вершины v. Алгоритм Дейкстра нахождения расстояния между фиксиро-

ванными вершинами s и t. for v V do l[v]:=∞;

for v V do fin[v]:=false; l[s]:=0;

fin[s]:=true;

last:=s;

while not fin[t] do begin

for v u [last] do

if not fin[v] and l[v]>l[last]+wlast,v then begin

l[v]:=l[last]+wlast,v; θ(v):=last

end;

for v множество вершин с временными метками do begin

определить k : l[k]=min l[v]; fin[k]:=true;

last:=k end

end

52

Лекция 14. Нахождение расстояния между всеми парами вершин. Алгоритм Уоршалла-Флойда. Связность орграфов. Транзитивное замыкание.

Очевидно, что задачу определения расстояния между всеми парами вершин можно решить, используя n(n-1) раз алгоритм Дейкстра. Однако, сложность такой процедуры будет составлять O(n4). Существуют более эффективные алгоритмы, в частности, алгоритм Уоршалла и Флойда.

Рассмотрим орграф G=<V,E>, V={v1,…,vn}. Пусть W = ( wij )i , j=1,n - матрица весов графа. Пусть dij( m ) - длина кратчайшего из путей из vi в vj с промежуточными вершинами в множест-

ве {v1,…,vm}, m =1,n . Тогда

Обоснование уравнения (14.2) следующее. Рассмотрим крат-

чайший путь из vi в vj с промежуточными вершинами из множества {v1,…,vm}. Если этот путь не содержит vm, то dij(m) = dij(m-1). Если же

он содержит vm, то деля путь на отрезки от vi до vm и от vm до vj получаем равенство dij(m) = dim(m-1)+ dmj(m-1). Уравнения (14.1) и (14.2)

дают возможность вычислять расстояния D(vi,vj)=dij(n) для любых

1≤ i,j ≤ n.

Алгоритм Уоршалла-Флойда.

Здесь D(vi,vj)=D[i,j]. begin

for i=1 to n do

for j=1 to n do D[i,j]=W[i,j]; for m:=1 to n do

for i:=1 to n do for j:=1 to n do

D[i,j]:=min(D[i,j], D[i,m]+ D[m,j]

end

Сложность алгоритма Уоршалла-Флойда O(n3).

54

С задачей определения кратчайших путей в графе тесно связана задача транзитивного замыкания бинарного отношения. Под бинарным отношением на множестве V мы понимаем произвольное подмножество E V×V. Такое отношение является транзитивным, если выполняется условие: если <x,y> E и <y,z> E, то <x,z> E для произвольных x,y,z V. Бинарное отношение E V×V можно однозначно представить ориентированным графом G=<V,E>. Для такого отношения определим

E*={<x,y>: в G=<V,E> существует путь ненулевой длины из x

в y}.

E*- транзитивное отношение на множестве V и E E*. Отношение E* называется транзитивным замыканием.

Если отношение E представить в виде графа G=<V,E>, то транзитивное замыкание E* можно вычислить по алгоритму УоршаллаФлойда. После завершения работы алгоритма имеем:

<vi,vj> E* D[i,j]<∞

При вычислении транзитивного замыкания удобно принять

W[i,j] = 1, если < vi ,v j > E,

0, если < vi ,v j > E ( вместо ∞).

Процедура вычисления транзитивного замыкания, основанная на алгоритме Уоршалла-Флойда, имеет следующий вид.

begin

for i=1 to n do

for j=1 to n do D[i,j]=W[i,j]; for m:=1 to n do

for i:=1 to n do for j:=1 to n do

D[ i, j ] := D[ i, j ] ( D[ i,m ] D[ m, j ])

end

Здесь и - булевы операции.

После завершения работы алгоритма имеем:

жимости) графа G=<V,E>.

56

Пример 14.2. Определить матрицу связности графа

ЛИТЕРАТУРА

1.Иванов Б.Н. «Дискретная математика. Алгоритмы и программы». // М.: Изд-во «Лаборатория базовых знаний», 2003.

2.Харари Ф. «Теория графов». // М.: "Мир", 2007.

3.Ю.В. Гайдамака, К.Е. Самуйлов, Л.А. Севастьянов, С.С. Спесивов «Комбинаторика. Алгоритмы на графах». Учеб- но-методическое пособие. // М.: Изд-во РУДН, 2002.

4.Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко «Сборник задач по дискретной математике». // М.: Наука, 2007.

58