Механика твердого тела

Момент инерции системы тел:

r – расстояние до оси вращения.

Момент инерции полого и сплошного цилиндров (или дисков) относительно оси симметрии:

R – внешний радиус тела.

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара:

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину:

Теорема Штейнера:

- момент инерции тела относительно центра масс тела,J-момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной оси, проходящей через центр масс (относительно которой вычисляется ); a– расстояние между осями;m– масса тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела относительно неподвижной точки

Момент силыотносительно неподвижной точкиО:

- радиус-вектор, проведенный из точкиОв точку приложения силы .

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта, при его вращении от к.

Модуль момента силы:

,

α –угол между и.

Моментом силы относительно неподвижной оси zназывается проекция на эту ось момента силы относительно произвольной точки на осиz.

Кинетическая энергия твердого тела:

, где скорость и момент инерции брать относительно центра масс.

Связь между силой и потенциальной энергией:

Работа при вращении тела:

M –момент действующей силы относительно оси вращения,φ –угол поворота.

Момент импульса твердого телаотносительно неподвижной точки:

Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси называется проекция на эту ось момента импульса относительно произвольной точки на этой оси.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Тяготение

Закон всемирного тяготения: между любыми двумяматериальными точкамидействует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.

G - гравитационная постоянная.

Сила тяжести:

g – ускорение свободного падения.

Механика жидкостей

Давлением в жидкости называется отношение нормальной силы, действующей со стороны жидкости на единицу площади.

.

Гидростатическое давление:

.

- плотность, ускорение свободного падения, высота столба жидкости.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости.

Уравнение неразрывностидля несжимаемой жидкости:

v –скорость течения жидкости в месте сеченияS.

Уравнение Бернуллидля несжимаемой жидкости, у которой отсутствует внутреннее трение:

ρ, v , p, h,–плотность жидкости, скорость течения жидкости, давление и высота расположения рассматриваемой точки в жидкости,g- ускорение свободного падения.

Вязкость (внутреннее трение)– свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одних слоев жидкости относительно других. Модуль силы внутреннего трения равен:

.

- коэффициент динамической вязкости, градиент скорости в направленииx, перпендикулярном движению слоев, и площадь поверхности слоя.

Число Рейнольдса характеризует течение жидкости.

- плотность, средняя по сечению скорость жидкости, характерный линейный размер потока (диаметр, сторона квадрата),коэффициент динамической вязкости.

При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное (слоистое, без перемешивания) движение жидкости; при больших – турбулентное (вихревое).

Формула Пуазейлядля ламинарного течения вязкой жидкости: за времяtиз трубы радиусомR и длинойlвытечет жидкость, объем которой равен

- разность давлений на концах трубы, коэффициент динамической вязкости жидкости.

Формула Стокса (сила, действующая на шарик, радиусом r, двигающийся со скоростьюvв жидкости с вязкостью):